2.正弦波形
正弦波形
Sinusoidal Waveforms
正弦波形是一种周期性波形，其形状可由三角函数中的正弦或余弦函数绘出。由正弦波形供电的电路，其电压和电流的极性在每个周期内都会改变，这种电源通常称作交流（AC）电压源或电流源。
当电流流经导线或导体时，会在导线周围产生与电流大小成正比的环形磁场。如果这根导体在一个静止的磁场中移动或旋转，由于导体切割磁通量，就会在导体中产生电动势（EMF，Electro-Motive Force）。
由此可见，电与磁之间存在着密切关系。正如迈克尔·法拉第所发现的“电磁感应”效应，电机和发电机正是利用这一基本原理来产生我们电网所需的正弦波形。
旋转线圈 在《电磁感应》教程中，我们提到，当一根单线导体在永久磁场中移动并切割磁通线时，导体中便会感应出电动势。
然而，当旋转导体如在 A 点和 B 点时与磁场平行运动时，并不会切割或穿越任何磁力线，因此导体中不会产生电动势。当导体如在 C 点和 D 点那样以垂直于磁场的方向运动时，它切割了最多的磁力线，从而产生最大的感应电动势。
此外，当导体在 A 点和 C 点之间以不同角度（0° 到 90°）切割磁场时，所感应出的电动势大小会介于零与最大值之间。由此可见，导体中感应电动势的大小不仅取决于磁场的强度，还取决于导体与磁通之间的角度。
交流发电机正是利用法拉第电磁感应原理，将机械能（如旋转）转换为电能，并以正弦波的形式输出。一个简单的发电机由一对永久磁铁构成，它们在北极和南极之间形成固定的磁场；在该磁场中放置一个矩形线圈，该线圈可绕着固定轴旋转，使其以不同角度切割磁通，如下图所示。
基础单线圈交流发电机
当线圈绕着垂直于磁场的中心轴逆时针旋转时，线圈会以不同的角度切割在北极和南极之间形成的磁力线。任意时刻，线圈中感应电动势的大小与线圈旋转的角度成正比。
随着线圈的旋转，导线中的电子沿着线圈沿一个方向流动。当线圈转过 180° 位置，导线开始以相反方向切割磁力线时，导线中的电子流向也会随之改变，朝相反方向流动。电子运动的方向决定了感应电压的极性。
因此，当线圈完整旋转一周（360°）时，就会产生一个完整的正弦波形——线圈每转一圈，波形就经历一个完整的周期。线圈在磁场中旋转时，通过碳刷和滑环与外部电路接触，以便将线圈中感应出的电流导出。
线圈切割磁力线时所感应出的电动势大小由以下三个因素决定：
速度：线圈在磁场中旋转的速度。
强度：磁场的强度。
长度：穿过磁场的线圈或导体的长度。
我们知道，电源的频率是单位时间内波形周期出现的次数，单位为赫兹（Hz）。如上所示，线圈每转一圈就会在包含一对南北极的磁场中产生一个周期的感应电动势；若线圈以恒定速度旋转，则每秒会产生恒定次数的周期，从而输出恒定频率。因此，频率与线圈的转速成正比，即
f \propto N
其中 N 为转速（r.p.m）。
此外，上述简单单线圈发电机只有一对极（一个北极和一个南极），每转一圈便产生一个周期；若在发电机中增加极对，例如改为两对极（两个北极、两个南极），则在相同转速下每转一圈会产生两个周期。因此，频率也与极对数成正比，即
f \propto P
其中 P 为极对数。
由以上两点可知，交流发电机的输出频率为：
f \propto N \ and \ f \propto P \ \therefore f=N\times P \ IN \ cycles/min
赫兹作为度量单位则有
Frequency,(f)=\frac{NP}{60}Hz
其中：
N 是转速，单位为转/分钟（r.p.m.）；
P 是极对数（pairs of poles）；
60 用于将“每分钟”的单位转换为“每秒”。
瞬时电压
Instantaneous Voltage
线圈在任一时刻所感应出的电动势取决于线圈切割南北极之间磁通量线的速率，而这一速率又与发电装置的旋转角度 \theta（Theta）有关。由于交流波形的瞬时幅值在不断变化，同一波形在不同时间点的值总是不相同。
例如，1 ms 时的电压值会与 1.2 ms 时的值有所差异。这些不同的电压值统称为“瞬时值”，通常记作 V_i。波形的瞬时值及其极性都将随着线圈在磁场中所处位置的不同而变化，如下图所示。
线圈在磁场中的位移
正弦波形的瞬时值由“瞬时值 = 最大值 × sin θ”给出，并可推广表示为公式：
v = V_\text{max} \times \sin \theta
其中， V_{max} 是线圈中感应出的最大电压， \theta = \omega t 是线圈相对于时间的旋转角度。
如果我们知道波形的最大值或峰值，就可以利用上述公式计算出波形各个时刻的瞬时值。将这些瞬时值在图纸上标出并连线，就能构造出一个正弦波形。
为了简化起见，我们将在每旋转 45° 时计算并绘制一次瞬时值，这样总共会有 8 个绘制点。同样地，为了便于说明，我们假设最大电压 V_{max} 为 100V。如果以更小的间隔绘制瞬时值，例如每 30°（12 个点）或每 10°（36 个点），则能够得到更精确的正弦波形。
正弦波形绘制
正弦波形上的各点，是通过将线圈在 0° 到 360° 旋转过程中的不同位置，对应投影到波形纵坐标上得到的。当线圈或环形导线完成一次完整旋转（360°）时，就产生了一个完整的波形。
从正弦波形的图中可以看出，当 \theta 等于 0°、180° 或 360° 时，线圈切割的磁力线最少，因而产生的电动势为零；而当 \theta等于 90° 和 270° 时，线圈切割的磁力线最多，产生的电动势也达到最大值。
因此，正弦波形在 90° 处具有正峰值，在 270° 处具有负峰值。图中 B、D、F、H 四个位置所对应的电动势大小均满足公式 e = V_{max} \times \sin \theta。
由我们这个简单的单线圈发电机产生的波形，因其形状与数学中的正弦函数相同，故通常称为“正弦波”（sine wave），表达式为 x(t) = A_{max} \times \sin(\theta)。
在时域中处理正弦波，尤其是电流波形时，横轴的单位既可以是时间，也可以是角度（度或弧度）。
在电气工程中，通常更习惯使用弧度来表示横轴的角度，例如 ω = 100 rad/s 或 500 rad/s。
弧度
Radians
弧度 弧度（rad）在数学上定义为：圆周上与该圆的半径 r 长度相等的弧所对应的角。由于圆的周长等于 2\pi \times r，因此一个完整的 360^\circ 对应 2\pi 弧度。
换句话说，弧度是一种角度测量单位，一个弧度的弧长与半径相等，所以完整圆周可容纳约 2\pi（约 6.283）个弧度。因此，
1\ \text{rad} = \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57.3^\circ.
在电气工程中常用弧度来表示角度，记住以下内容非常重要：
弧度的定义
2\pi\ \mathrm{rad} = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad 1\ \mathrm{rad} = \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57.3^\circ
使用弧度作为正弦波形的测量单位时，一个完整的 360° 周期对应 2 \pi 弧度；因此，半个正弦波形对应 \pi（即 1 \pi）弧度。已知 \pi ≈ 3.142，故正弦波形中度数与弧度的对应关系如下：
角度与弧度的关系
\text{radians} \=\ \frac{\pi}{180^\circ}\times\text{degrees} \quad,\quad \text{degrees} \=\ \frac{180^\circ}{\pi}\times\text{radians}
将这两个公式应用于波形上的各个点后，我们得到：
\begin{align*} 30^\circ &\to \text{radians} = \frac{\pi}{180^\circ}\times 30^\circ = \frac{\pi}{6}\\mathrm{rad}, \[0.5em] 90^\circ &\to \text{radians} = \frac{\pi}{180^\circ}\times 90^\circ = \frac{\pi}{2}\\mathrm{rad}, \[0.5em] \frac{5\pi}{4}\\mathrm{rad} &\to \text{degrees} = \frac{180^\circ}{\pi}\times \frac{5\pi}{4} = 225^\circ, \[0.5em] \frac{3\pi}{2}\\mathrm{rad} &\to \text{degrees} = \frac{180^\circ}{\pi}\times \frac{3\pi}{2} = 270^\circ. \end{align*}
下表给出了正弦波分析中常用角度与弧度的对应关系
角度与弧度对应关系
发电机绕其中心轴旋转的速度决定了正弦波形的频率。由于波形的频率以 f 赫兹（Hz）或每秒完成的周期数来表示，波形也具有以弧度/秒为单位的角频率 \omega（希腊字母“欧米伽”）。因此，正弦波形的角速度可表示为：
正弦波形的角速度
\omega = 2 \pi f(rad/sec)
在英国，市电的角频率或频率规定为：
\omega = 2 \pi f = 2\pi \times 50 = 314.2 {\ } rad/s
在美国，由于市电频率为 60 Hz，其角频率可表示为：377 rad/s。
因此，我们现在知道发电机绕中心轴旋转的速度决定了正弦波形的频率，这也就是它的角速度 ω。但此时我们也应当明白，完成一次完整旋转所需的时间恰好等于该正弦波的周期 T。
由于频率与周期成反比，即 f = \frac{1}{T}
我们可以将上述公式中的频率 f 用等价的周期 T 来替换，代入后得到：
\omega = \frac{2 \pi}{T}(rad/sec)
上述公式说明，对于正弦波形来说，周期时间越小，其角速度越大。同理，在上文关于频率的公式中，频率越高，角速度也越大。
正弦波形示例 1 一个正弦波形定义为：
V_m = 169.8 \sin(377t)\ \text{伏}
计算该波形的有效值电压、频率，以及在 6 毫秒（6 ms）时的瞬时电压 V_i。
我们从上文知道，正弦波形的一般表达式为：
V_{(t)} = V_{max} \sin (\omega t)
将其与上面给定的正弦波表达式 V_m = 169.8\sin(377t) 进行比较，可以得出该波形的峰值电压为 169.8 伏。
该波形的有效值（RMS）电压计算公式为：
V_{\mathrm{rms}} = 0.707 \times V_{\mathrm{max}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{rms}} = 0.707 \times 169.8 = 120\ \mathrm{V}
角速度 \omega 给定为 377 rad/s。由 2\pi f = 377 可得波形的频率计算如下：
f = \frac{377}{2\pi} \approx 60\ \mathrm{Hz}
经过 6 毫秒后的瞬时电压 V_i 表示为：
V_i = V_m \sin(\omega t) = 169.8 \sin\bigl(377 \times 0.006\bigr) = 169.8 \sin\bigl(2.262\ \mathrm{rad}\bigr)
2.262\ \mathrm{rad} \times \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 129.6^\circ
V_i = 169.8 \times \sin (129.6 ^\circ) = 169.8 \times 0.771 \approx 130.8\ \mathrm{V_{peak}}
注意，在 t = 6\ \mathrm{ms} 时所给的角位移是以弧度（rad）表示的。如有需要，也可以将其转换为等效的角度（°），并使用该角度值来计算瞬时电压。因此，该瞬时电压对应的角度（以度为单位）可表示为：
\text{Degrees} = \frac{180^\circ}{\pi} \times \text{radians} \quad\Longrightarrow\quad \frac{180^\circ}{\pi} \times 2.262 \approx 57.3^\circ \times 2.262 \approx 129.6^\circ
正弦波形 用于分析和计算正弦波形各项数值的一般化格式如下：
正弦波形
在下一节关于相位差的教程中，我们将研究两个频率相同、但在不同时间点通过水平零轴的正弦波形之间的关系。
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