7.串联电容器
串联电容器
Capacitors in Series
当多个电容器首尾相连成一条直线时，就称这些电容器为串联连接。
在串联连接中，流经各电容器的充电电流 i_C 是相同的，因为电流只有一条路径可走。
因此，串联电容器中的电流相等，即
i_T = i_1 = i_2 = i_3 = \dots
每只电容器的极板上所存储的电荷量 Q 也相同，与其电容量无关。这是因为任一电容器极板上的电荷必须来自其相邻电容器的极板。因此，串联的电容器必定具有相同的电荷。
Q_T = Q_1 = Q_2 = Q_3 = \dots
下图所示电路中，三只电容器 C_1、C_2 和 C_3 首尾相连，构成一条跨接在 A、B 点之间的串联支路。
Capacitors in a Series Connection
在前面的并联电路中，我们看到电路的总电容 C_T 等于所有单个电容器之和。然而，在串联连接的电路中，总电容
C_T 的计算方式则不同。
在上图的串联电路中，第一个电容器 C_1 的右极板与第二个电容器 C_2 的左极板相连，而 C_2 的右极板又与第三个电容器 C_3 的左极板相连。对于直流电路而言，这种串联连接意味着电容器 C_2 实际上被隔离出了电路。
其结果是，有效极板面积减少到串联链中最小的单个电容值。因此，各电容器两端的电压降将根据它们各自的电容值而有所不同。
然后，通过对上述电路应用基尔霍夫电压定律（KVL），我们得到：
V_{AB} = V_{C1} + V_{C2} + V_{C3} = 12\\mathrm{V},
其中
V_{C1} = \frac{Q_T}{C_1},\quad V_{C2} = \frac{Q_T}{C_2},\quad V_{C3} = \frac{Q_T}{C_3}.
由于
Q = C \cdot V
重排得
V = \frac{Q}{C},
将 \displaystyle \frac{Q}{C} 代入上述 KVL 方程中每个电容的电压 V_C，可得：
V_{AB} = \frac{Q_T}{C_T} = \frac{Q_T}{C_1} + \frac{Q_T}{C_2} + \frac{Q_T}{C_3}.
两边同时除以 Q_T，得到串联电容器的公式：
串联电容公式
Series Capacitors Equation
\frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots.
在串联连接中，各电容器的倒数 \frac{1}{C} 相加（类似于电阻并联），而不是直接相加电容值。因此，总电容等于各单个电容倒数之和的倒数。
教程示例 1
取上述示例中三个电容器的数值，我们可以计算它们串联后的等效总电容 C_T 为：
\frac{1}{C_T} \=\\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}
\frac{1}{C_T} =\Bigl(\frac{1}{0.1\\mu\mathrm F}+\frac{1}{0.2\\mu\mathrm F}+\frac{1}{0.3\\mu\mathrm F}\Bigr) =18.33\times10^6\\mathrm F^{-1}
\therefore\quad C_T=\frac{1}{18.33\times10^6} =0.055\\mu\mathrm F
串联连接的电容器有一点要记住：任何数量的电容器串联时，总电容 C_T 必然小于串联链中最小的电容值。在上例中，总电容 C_T 计算为 0.055\\mu\mathrm F，而串联链中最小的电容仅为 0.1\mu\mathrm F
这种倒数相加的方法可用于计算任意多个电容器的串联。当只有两个电容器串联时，可以使用更简单快捷的公式，其表达式为：
C_T = \frac{C_1\C_2}{C_1 + C_2}.
如果两个串联的电容器相等且具有相同的电容值，即：
C_1 = C_2 = C,
那么上述公式可以进一步简化为：
C_T = \frac{C_1\C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C\cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}.
那么我们可以看到，当且仅当两个串联电容器相同且电容值相等时，总电容 C_T 恰好等于电容值 C 的一半，也即：
C_T = \frac{C}{2}.
对于串联连接的电阻，所有电压降之和等于施加电压 V_S（基尔霍夫电压定律），串联电容器亦是如此。
在串联电容器中，由于电源频率的作用，电容器表现出电抗，其阻抗会在每只电容器上产生电压降，因此串联电容器构成了一个电容分压网络。
结果是，电阻分压公式同样可用于求解两只串联电容器的各自电压。那么：
V_{C_X} \=\ \frac{C_T}{C_X}\V_S
其中：
C_X 是所讨论电容器的电容；
V_S 是加在串联链上的电源电压；
V_{C_X} 是目标电容器两端的电压降。
教程示例 2
在 12 V 交流电源下，求以下两组串联电容的等效电容及各电容器的有效电压降：
a) 两只电容各为 47\\mathrm{nF}
b) 一只电容为 470\\mathrm{nF} 串联一只电容为 1\\mu\mathrm{F}
a) 等值串联电容
Total Equal Capacitance
C_T = \frac{C_1\C_2}{C_1 + C_2} = \frac{47\\mathrm{nF}\times47\\mathrm{nF}}{47\\mathrm{nF}+47\\mathrm{nF}} =23.5\\mathrm{nF}
各电容电压降：
V_{C1}=V_{C2} =\frac{C_T}{C_1}\V_S =\frac{23.5\\mathrm{nF}}{47\\mathrm{nF}}\times12\\mathrm{V} =6\\mathrm{V}
b) 不等值串联电容
Total Unequal Capacitance
C_T = \frac{C_1\C_2}{C_1 + C_2} = \frac{470\\mathrm{nF}\times1\\mu\mathrm{F}}{470\\mathrm{nF}+1\\mu\mathrm{F}} =320\\mathrm{nF}
各电容电压降：
V_{C1} =\frac{C_T}{C_1}\V_S =\frac{320\\mathrm{nF}}{470\\mathrm{nF}}\times12\\mathrm{V} \approx8.16\\mathrm{V}
V_{C2} =\frac{C_T}{C_2}\V_S =\frac{320\\mathrm{nF}}{1\\mu\mathrm{F}}\times12\\mathrm{V} \approx3.84\\mathrm{V}
由于基尔霍夫电压定律（KVL）适用于该串联电路及所有串联电路，各电容器两端电压降之和必等于电源电压 V_S。因此：
8.16 + 3.84 = 12\\mathrm{V}.
此外，如果电容值相同（如第一个示例中的 47\\mathrm{nF}），则电源电压会均匀地分配到每只电容器两端。这是因为串联链中每只电容器所带的电荷量相等且精确相同（Q = C \times V = 0.564\\mu\mathrm{C}），故每只电容器承受电压为总电压的一半（对于多于两只电容器的情况，则为相应的百分比分压）。
而当串联电容值不同时，电容值较大的那只承受较低电压，电容值较小的那只承受较高电压。在上述第二个示例中，它们分别为 3.84\\mathrm{V} 和 8.16\\mathrm{V}。这种电压差异使各电容器能够在其极板上保持相同的电荷量 Q。
\begin{align} Q_{C1}&=V_{C1}\times C_{1}=8.16\\mathrm V\times 470\\mathrm{nF}=3.84\\mu\mathrm C, \ Q_{C2}&=V_{C2}\times C_{2}=3.84\\mathrm V\times 1\\mu\mathrm F=3.84\\mu\mathrm C. \end{align}
注意，串联连接的两只电容器上的电压降比率将始终保持不变，无论电源频率如何，因为它们的容抗 X_C 会按比例保持相同。
因此，即使将电源频率从 100\\mathrm{Hz} 提高到 100\\mathrm{kHz}，在我们上面的简单示例中，两个电压降 8.16\\mathrm V 和 3.84\\mathrm V 仍然不变。
尽管在不同电容值下各电容器两端的电压降会不同，但由于串联电路中流经的电流相同——所有电容器都被相同数量的电子所充电——所以各极板上的库仑电荷量 Q 是相等的。
换言之，如果各电容器极板上的电荷量相同（ Q 保持不变），那么当电容减小时，由于电荷相对于电容而言较大，极板电压降就会增大；同理，较大的电容由于电荷相对于电容而言较小，其极板电压降就会减小。
教程总结
然后，总结如下：
含有串联电容器的电路的总电容 C_T 等于各单个电容倒数之和的倒数：
\frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots
对于串联连接的电容器，所有电容器的充电电流相同：
i_T = i_1 = i_2 = i_3 = \dots
串联的两只或多只电容器极板上的库仑电荷量 Q 恒相等。
由于电荷 Q 相同且恒定，电容器两端的电压降仅由电容值决定：
V = \frac{Q}{C}.
当电容值较小时，电压降会增大；当电容值较大时，电压降会减小。
附录
电力场景下的串联电容
单词表
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