6.节点电压分析
节点电压分析
Nodal Voltage Analysis
节点电压分析用于求解电路中不同节点之间的未知电压降，这些节点为两个或多个元件提供公共连接点。
节点电压分析与之前的网孔分析互补，二者同样强大，且都基于矩阵分析的基本概念。顾名思义，节点电压分析利用基尔霍夫第一定律的“节点”方程来求解电路中的电压势。
因此，将所有这些节点电压相加，结果为零。若电路中有 n 个节点，则会有 n-1 个独立的节点方程，这些方程足以描述并求解整个电路。
在每个节点处写下基尔霍夫第一定律方程，即“流入节点的电流在数值上等于流出节点的电流”，然后将每个电流用跨支路的电压表示。对于 n 个节点，其中一个节点将作为参考节点，所有其他电压均相对于该公共节点来测量。
例如，考虑前一节中的电路。
节点电压分析电路
Nodal Voltage Analysis Circuit
在上述电路中，节点 D 被选为参考节点，其它三个节点相对于节点 D 分别假设具有电压 V_a、V_b 和 V_c。例如：
\frac{V_a - V_b}{10} \+\\frac{V_c - V_b}{20} \=\\frac{V_b}{40}\.
基尔霍夫第一定律
由于 V_a = 10\\mathrm{V} 且 V_c = 20\\mathrm{V}，V_b 可由下式求得：
\left(1 - \frac{V_b}{10}\right) + \left(1 - \frac{V_b}{20}\right) = \frac{V_b}{40}
2 = V_b\Bigl(\frac{1}{40} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10}\Bigr)
V_b = \frac{80}{7}\\mathrm{V}
I_3 = \frac{2}{7}\\mathrm{A}\ \text{或}\ 0.286\\mathrm{A}
再次得到相同的 0.286\ \mathrm{A} 值，这与我们在前一节教程中使用基尔霍夫电路定律所求得的结果相同。
从到目前为止我们所讨论的网孔分析和节点电压分析方法来看，这是求解此特定电路最简单的方法。通常，当电路中存在较多电流源时，更适合使用节点电压分析。此时，网络的定义为：
\mathbf{I} = \mathbf{Y}\\mathbf{V}
其中 \mathbf{I} 是驱动电流源向量， \mathbf{V} 是待求节点电压向量， \mathbf{Y} 是网络的导纳矩阵，其作用于 \mathbf{V} 可得到 \mathbf{I}。
教程小结
求解节点电压分析方程的基本步骤如下：
写出电流向量，假设流入节点的电流为正。即对 N 个独立节点，得到一个 (N\times1) 的电流向量。
写出网络的导纳矩阵 \mathbf{Y}，其中：
Y_{11} = \text{第 1 个节点的总导纳}, \ \quad Y_{22} = \text{第 2 个节点的总导纳}, \ \quad Y_{JK} = \text{连接节点 }J\text{ 与节点 }K\text{ 的总导纳}.
对于具有 N 个独立节点的网络， \mathbf{Y} 是一个 ( N\times N) 的矩阵，其中 Y_{nn} 为正值， Y_{jk} 为负值或零。
电压向量是一个 ( N\times1) 向量，列出待求的 N 个节点电压。
我们现在已经看到，有若干定理可以简化线性电路的分析。在下一个教程中，我们将学习戴维南定理，该定理允许将由线性电阻和电源组成的网络，用一个包含单一电压源和一个串联电阻的等效电路来表示。
附录
节点电压分析举例
电路描述
参考节点：地（0 V）。
节点 1：有一个 2 A 的电流源注入节点 1，通过电阻 R_1=5\\Omega 接地。
节点 2：有一个 1 A 的电流源注入节点 2，通过电阻 R_2=20\\Omega 接地。
节点 1 与节点 2 之间 有一个电阻 R_{12}=10\\Omega 连接。
1. 写电流向量 \mathbf{I}
\mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_1\[0.3em] I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\[0.3em] 1 \end{pmatrix} \quad(\mathrm{单位：A})
2. 写导纳矩阵 \mathbf{Y}
Y_{11} = \frac1{R_1} + \frac1{R_{12}} = \frac1{5} + \frac1{10} = 0.2 + 0.1 = 0.3\\mathrm S,
Y_{22} = \frac1{R_{12}} + \frac1{R_2} = \frac1{10} + \frac1{20} = 0.1 + 0.05 = 0.15\\mathrm S,
Y_{12} = Y_{21} = -\frac1{R_{12}} = -0.1\\mathrm S.
所以
\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1\[0.3em] -0.1 & 0.15 \end{pmatrix}.
3. 写节点电压向量 \mathbf{V}
\mathbf{V} = \begin{pmatrix} V_1\[0.3em] V_2 \end{pmatrix} \quad(\mathrm{单位：V}).
4. 建立并求解方程 \mathbf{I} = \mathbf{Y}\\mathbf{V}
\begin{pmatrix} 2\[0.3em] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1\[0.3em] -0.1 & 0.15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_1\[0.3em] V_2 \end{pmatrix}.
对应的标量方程组为：
\begin{cases} 0.3\V_1 \-\0.1\V_2 = 2,\[0.4em] -0.1\V_1 + 0.15\V_2 = 1. \end{cases}
计算行列式：
\Delta = 0.3\times0.15 \-\(-0.1)\times(-0.1) = 0.045 - 0.01 = 0.035.
由克莱姆法则，
V_1 = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -0.1\[0.3em] 1 & 0.15 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{2\cdot0.15 - (-0.1)\cdot1}{0.035} = \frac{0.3 + 0.1}{0.035} = \frac{0.4}{0.035} \approx 11.43\\mathrm V,
V_2 = \frac{ \begin{vmatrix} 0.3 & 2\[0.3em] -0.1 & 1 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{0.3\cdot1 - 2\cdot(-0.1)}{0.035} = \frac{0.3 + 0.2}{0.035} = \frac{0.5}{0.035} \approx 14.29\\mathrm V.
结果：
V_1 \approx 11.43\\mathrm V,\quad V_2 \approx 14.29\\mathrm V.
此例完整演示了如何按“\mathbf{I}=[Y][V]”形式搭建方程并求解节点电压。
网孔分析与节点分析
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