5.网孔电流分析
网孔电流分析
Mesh Current Analysis
网孔电流分析（Mesh Current Analysis）是一种用于求解电路中沿闭合路径或网孔内环流电流的技术。
所谓网孔 (mesh)， 指的是电路中的一个独立回路（没有内部包含其他回路的基本回路），通常被想象成一个“网孔”。
虽然基尔霍夫定律（Kirchhoff’s Laws）为分析任意复杂电路提供了基本方法，但通过使用网孔电流分析（Mesh Current Analysis）或节点电压分析（Nodal Voltage Analysis）可以在某些情况下改进这一方法，从而减少所涉及的数学计算量。当涉及大型网络时，这种数学简化就是一个重要优势。
例如，考虑前一节中提到的那个电路实例。
网孔电流分析电路
Mesh Current Analysis Circuit
一种简化数学计算的方法是，使用**基尔霍夫电流定律（KCL）**的方程来分析电路，从而求解流经两个电阻的电流 I_1 和 I_2。这样就无需单独计算电流 I_3，因为它只是 I_1 与 I_2 的总和。
因此，**基尔霍夫第二电压定律（KVL）**就简化为：
\text{方程一：} \quad 10 = 50I_1 + 40I_2
\text{方程二：} \quad 20 = 40I_1 + 60I_2
由此，节省了一行数学计算。
网孔电流分析
一种更简便的求解上述电路的方法是使用网孔电流分析（Mesh Current Analysis）或回路分析（Loop Analysis），这种方法有时也被称为 麦克斯韦环流法（Maxwell’s Circulating Currents method）。
与标记支路电流不同，这种方法要求我们给每一个闭合回路标记一个环流电流（circulating current）。
一般的经验法则是：仅标记内部的回路，并采用顺时针方向标记环流电流，其目的是确保电路中的每个元件至少被一个回路电流覆盖一次。任何所需的支路电流都可以通过这些合适的网孔或回路电流来计算，就像使用基尔霍夫方法那样。
例如：
i_1 = I_1,\quad i_2 = -I_2,\quad I_3 = I_1 - I_2
接下来我们像之前一样，使用基尔霍夫电压定律（KVL）来列写方程并求解。不过该方法的优势在于：它可以保证从电路方程中获取的是求解电路所需的最少信息量，因为这些信息是更通用的，并且可以方便地写成矩阵形式。
例如，考虑前一节中提到的那个电路：
这些方程可以通过使用一个单一网孔阻抗矩阵 Z 来快速求解。这个矩阵中的每个主对角线上的元素都是“正值”，代表各个网孔中阻抗的总和。而每个非主对角线元素则是“零”或“负值”，代表连接相邻网孔的电路元件的阻抗。
首先我们需要理解，在处理矩阵运算时，两个矩阵的相除其实等同于一个矩阵乘以另一个矩阵的逆矩阵。
- 原始关系式
[V] = [I] \times [R] \quad \text{或} \quad [R] \times [I] = [V]
- 电路的矩阵表示
\begin{bmatrix} 50 & -40 \ -40 & 60 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} I_1 \ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \ -20 \end{bmatrix}
- 求解电流向量
I = \frac{V}{R} = R^{-1} \times V
求逆矩阵
\text{Inverse of } R = \begin{bmatrix} 60 & 40 \ 40 & 50 \end{bmatrix}
行列式计算：
|R| = (60 \times 50) - (40 \times 40) = 1400
进而写出逆矩阵：
\therefore R^{-1} = \frac{1}{1400} \begin{bmatrix} 60 & 40 \ 40 & 50 \end{bmatrix}
在求得 R 的逆矩阵之后， \dfrac{V}{R} 与 V \times R^{-1} 等价，因此我们现在可以利用它来求出两条环流电流。
矩阵形式求环流电流
[I]=[R^{-1}]\[V]
\begin{bmatrix} I_1\ I_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{1400} \begin{bmatrix} 60 & 40\ 40 & 50 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10\ -20 \end{bmatrix}
计算：
\begin{aligned} I_1 &= \frac{60\times10 + 40\times(-20)}{1400} = \frac{-200}{1400} = -0.143\\text{A}\[6pt] I_2 &= \frac{40\times10 + 50\times(-20)}{1400} = \frac{-600}{1400} = -0.429\\text{A} \end{aligned}
因此，两条网孔（环路）电流分别为
\boxed{I_1 = -0.143\ \text{A}},\qquad \boxed{I_2 = -0.429\ \text{A}}.
其中:
[V]：依次给出回路 1与回路 2的总电源电压
[I]：列出我们要计算的各回路电流名称
[R]：电阻矩阵
[ R^{-1}]：[R] 的逆矩阵
由此计算得到
I_1 = -0.143\ \text{A}, \qquad I_2 = -0.429\ \text{A}
又因为
I_3 = I_1 - I_2
则
I_3 = -0.143 - (-0.429) = 0.286\ \text{A}
这个 0.286\ \text{A} 的结果与我们在基尔霍夫电路定律教程中先前求得的数值相同。
教程总结
这种“直观观察（look-see）”的电路分析方法大概是所有分析方法中最简便的一种。采用网孔电流分析时，基本的解题步骤如下所示：
给所有内部回路标注环流电流（I_1, I_2, \dots , I_L 等）。
书写 [L \times 1] 列矩阵 \mathbf V，其元素为各回路中所有电压源的代数和。
构造 [L \times L] 电阻矩阵 \mathbf R，规则如下：
R_{11}：第 1 个回路中的电阻总和；
R_{nn}：第 n 个回路中的电阻总和；
R_{jk}：直接连接回路 j 与回路 k 的电阻值（若无连接则为 0）。
写出矩阵方程
\mathbf V = \mathbf R\\mathbf I
其中 \mathbf I 为待求的电流向量。
按照这个步骤可以参考附录 网孔分析逐步分解
除了网孔电流分析外，我们还可以使用**节点分析（Nodal Analysis）来求解各节点（或回路）电压，同样只依赖基尔霍夫定律并进一步减少数学运算量。在下一篇直流电路理论教程中，我们将详细介绍节点电压分析（Nodal Voltage Analysis）**的具体做法。
附录
网孔电流分析逐步详解示例
下面给出一个两网孔直流电路的完整示例，按前面总结的 4 个步骤（标注环流 → 写 \mathbf V → 写 \mathbf R → 列式求解）一步步演示。
1 电路描述与环流标注
回路 1（右手顺时针）电流： I_1 元件：电源 V_{s1}=+20\text{ V}，电阻 10 Ω，公共电阻 5 Ω
回路 2（同样顺时针）电流： I_2 元件：电源 V_{s2}=-10\text{ V}（符号表示极性与 I_2 方向相反），电阻 15 Ω，公共电阻 5 Ω
2 写出 \mathbf V 列矩阵
\mathbf V = \begin{bmatrix} \\+\20 \[2pt] -10 \end{bmatrix} \ \text{V}
3 构造电阻矩阵 \mathbf R
R_{11}=10\Ω+5\Ω=15\Ω
R_{22}=15\Ω+5\Ω=20\Ω
R_{12}=R_{21}=-5\Ω（负号表示两回路共享该 5 Ω 且电流方向相反）
\mathbf R = \begin{bmatrix} 15 & -5 \ -5 & 20 \end{bmatrix} \\bigl[\Omega\bigr]
4 列矩阵方程并求解
\mathbf V = \mathbf R\\mathbf I \quad\Longrightarrow\quad \mathbf I = \mathbf R^{-1}\mathbf V
\begin{bmatrix} 15 & -5 \ -5 & 20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20\ -10 \end{bmatrix}
计算（手算或借助计算机）： 行列式
\lvert\mathbf R\rvert =15\times20-(-5)\times(-5)=300-25=275
\mathbf R^{-1} =\frac1{275} \begin{bmatrix} \ \ 20 & 5\ \ \ 5 & 15 \end{bmatrix}
\mathbf I =\frac1{275} \begin{bmatrix} 20 & 5\ 5 & 15 \end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 20\[-2pt] -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \tfrac{14}{11}\[6pt] \displaystyle -\tfrac{2}{11} \end{bmatrix} \text{A}
\boxed{I_1 = 1.273\ \text{A}},\qquad \boxed{I_2 = -0.182\ \text{A}}
正号表示 I_1 与假设方向一致；
负号表示 I_2 实际方向与假设方向相反。
5 求支路电流（公共 5 Ω 电阻）
I_3 = I_1 - I_2 = 1.273\-\(-0.182) = 1.455\ \text{A}
要点回顾
先统一环流方向（顺或逆时针都可，保持一致）。
\mathbf V 只放“本回路电压源的代数和”。
\mathbf R 主对角填本回路总阻抗，非对角填“负共享阻抗”。
解 \mathbf I=\mathbf R^{-1}\mathbf V 即得所有网孔电流，再换算所需支路电流、电压。
矩阵形式的欧姆定律
为什么欧姆定律能够“升级”为矩阵形式？
核心结论：只要电路满足 线性元件 + 基尔霍夫两大定律，标量欧姆定律
\displaystyle v = iR
自然推广为
\boxed{\\mathbf V=\mathbf R\\mathbf I\}
或（节点分析时）
\boxed{\\mathbf G\\mathbf V=\mathbf I_{\text{注入}}\}
下面分三步给出“证明思路”与形式化推导（电阻网络为例，电抗元件在稳态交流下同理，只需把 R 换成复阻抗 Z=\R+jX）。
1. 逐支路欧姆定律 ➜ 逐节点/逐网孔矩阵
1.1 单支路（标量）
v_k \=\ i_k\R_k,\qquad k=1,2,\ldots, b
这里 b 是支路数。
1.2 收集成向量
\mathbf v=\begin{bmatrix}v_1\\vdots\v_b\end{bmatrix},\ \mathbf i=\begin{bmatrix}i_1\\vdots\i_b\end{bmatrix},\ \mathbf R=\operatorname{diag}(R_1,\dots,R_b)
于是
\mathbf v \=\ \mathbf R\\mathbf i \tag{1}
这就是矩阵版欧姆定律的最原始形态：对角矩阵只把每条支路自己的 R_k 摆在对角线上。
2. 加入基尔霍夫定律：
2.1 KCL（节点电流定律）
令
\mathbf A\in\mathbb R^{n\times b}
为 节点–支路关联矩阵（入 = +1，出 = –1）； 对每个节点 p 有
\sum_{k} A_{pk}\i_k \=\ I_p^{\text{注入}}
写成矩阵：
\boxed{\ \mathbf A\\mathbf i \=\\mathbf I_{\text{注入}} \} \tag{2}
2.2 KVL（回路电压定律）
\mathbf A^{\\mathsf T}\\mathbf v \=\\mathbf 0 \tag{3}
2.3 联立 (1)(2)(3) 消元
把 (1) 代入 (3)：
\mathbf A^{\\mathsf T}\\mathbf R\\mathbf i \=\\mathbf 0
再用 (2) 消去 \mathbf i：
\mathbf A^{\\mathsf T}\\mathbf R\\mathbf A^{+}\\mathbf I_{\text{注入}} \=\\mathbf 0
（ \mathbf A^{+} 表摩尔–彭若斯广义逆；下列推导用满秩假设可直接左乘 \mathbf A^{\\mathsf T}.）
更常见的 节点电压法：令 \mathbf v = \mathbf A^{\\mathsf T}\mathbf V（ \mathbf V 为节点电位向量），再将 (1)(2) 组合可得
\boxed{\ \underbrace{\mathbf G}_{\mathbf G=\mathbf A\\mathbf R^{-1}\mathbf A^{\\mathsf T}}\\mathbf V \=\ \mathbf I_{\text{注入}} \} \tag{4}
\mathbf G 称 节点导纳矩阵，对称且正定
若用网孔电流法，亦可得到
\mathbf Z\\mathbf I_{\text{mesh}}=\mathbf V_{\text{mesh}},\qquad \mathbf Z \text{同样是对称正定}
3. 逻辑小结 = “证明”要点
整个推导只用到 线性性 与 基尔霍夫定律，因此所有线性无源元件（R、L、C，在相量域内）均适用。
得到的矩阵 \mathbf G 或 \mathbf Z 就是“欧姆定律的矩阵推广”。
对称性和半正定/正定保障了解唯一性与数值稳定性。
小型两节点示例（验证）
电阻 R_1=50\\Omega 连接节点 1–2， 电阻 R_2=60\\Omega 接地于节点 1， 电阻 R_3=40\\Omega 接地于节点 2， 节点 1 注入电流 I_s=2\text{ A}（流入），节点 2 无外部注流。
- 构造 \mathbf A:
\mathbf A = \begin{bmatrix} +1 & +1 & 0\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix}
\mathbf R=\operatorname{diag}(50,60,40)
\mathbf G=\mathbf A\\mathbf R^{-1}\mathbf A^{\\mathsf T}:
\mathbf G = \begin{bmatrix} \frac1{50}+\frac1{60} & -\frac1{50}\ -\frac1{50} & \frac1{50}+\frac1{40} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.03667 & -0.02\ -0.02 & 0.045 \end{bmatrix}
结点方程：
\begin{bmatrix} 0.03667 & -0.02\ -0.02 & 0.045 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\0 \end{bmatrix}
解得 V_1\approx78.5\text{ V},\ V_2\approx49.2\text{ V}，再回代可得各支路电流，与逐支路欧姆定律一致。
欧姆定律的矩阵形式并非“新定律”，而是“把一堆标量欧姆定律 + 基尔霍夫约束整理成线性代数表达”。
线性网络 → 线性映射 → 可以用矩阵描述；这就是欧姆定律推广的数学与物理根基。
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