串联电容器

Capacitors in Series

当多个电容器首尾相连成一条直线时，就称这些电容器为串联连接。

在串联连接中，流经各电容器的充电电流 \(i_C\) 是相同的，因为电流只有一条路径可走。

因此，串联电容器中的电流相等，即

\[ i_T = i_1 = i_2 = i_3 = \dots \]

每只电容器的极板上所存储的电荷量 \(Q\) 也相同，与其电容量无关。这是因为任一电容器极板上的电荷必须来自其相邻电容器的极板。因此，串联的电容器必定具有相同的电荷。

\[ Q_T = Q_1 = Q_2 = Q_3 = \dots \]

下图所示电路中，三只电容器 \(C_1、C_2 和 C_3\)首尾相连，构成一条跨接在 A、B 点之间的串联支路。

Capacitors in a Series Connection

在前面的并联电路中，我们看到电路的总电容 \(C_T\) 等于所有单个电容器之和。然而，在串联连接的电路中，总电容

\(C_T\) 的计算方式则不同。

在上图的串联电路中，第一个电容器 \(C_1\) 的右极板与第二个电容器 \(C_2\) 的左极板相连，而 \(C_2\) 的右极板又与第三个电容器 \(C_3\) 的左极板相连。对于直流电路而言，这种串联连接意味着电容器 \(C_2\) 实际上被隔离出了电路。

其结果是，有效极板面积减少到串联链中最小的单个电容值。因此，各电容器两端的电压降将根据它们各自的电容值而有所不同。

然后，通过对上述电路应用基尔霍夫电压定律（KVL），我们得到：

\[ V_{AB} = V_{C1} + V_{C2} + V_{C3} = 12\,\mathrm{V}, \]

其中

\[ V_{C1} = \frac{Q_T}{C_1},\quad V_{C2} = \frac{Q_T}{C_2},\quad V_{C3} = \frac{Q_T}{C_3}. \]

由于

\[ Q = C \cdot V \]

重排得

\[ V = \frac{Q}{C}, \]

将 \(\displaystyle \frac{Q}{C}\) 代入上述 KVL 方程中每个电容的电压 \(V_C\)，可得：

\[ V_{AB} = \frac{Q_T}{C_T} = \frac{Q_T}{C_1} + \frac{Q_T}{C_2} + \frac{Q_T}{C_3}. \]

两边同时除以 \(Q_T\)，得到串联电容器的公式：

串联电容公式

Series Capacitors Equation

\[ \frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots. \]

在串联连接中，各电容器的倒数 \(\frac{1}{C}\) 相加（类似于电阻并联），而不是直接相加电容值。因此，总电容等于各单个电容倒数之和的倒数。

教程示例 1

取上述示例中三个电容器的数值，我们可以计算它们串联后的等效总电容 C_T 为：

\[ \frac{1}{C_T} \;=\;\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \]

\[ \frac{1}{C_T} =\Bigl(\frac{1}{0.1\,\mu\mathrm F}+\frac{1}{0.2\,\mu\mathrm F}+\frac{1}{0.3\,\mu\mathrm F}\Bigr) =18.33\times10^6\;\mathrm F^{-1} \]

\[ \therefore\quad C_T=\frac{1}{18.33\times10^6} =0.055\,\mu\mathrm F \]

串联连接的电容器有一点要记住：任何数量的电容器串联时，总电容 \(C_T\) 必然小于串联链中最小的电容值。在上例中，总电容 \(C_T\) 计算为 \(0.055\,\mu\mathrm F\)，而串联链中最小的电容仅为 \(0.1\mu\mathrm F\)

这种倒数相加的方法可用于计算任意多个电容器的串联。当只有两个电容器串联时，可以使用更简单快捷的公式，其表达式为：

\[ C_T = \frac{C_1\,C_2}{C_1 + C_2}. \]

如果两个串联的电容器相等且具有相同的电容值，即：

\[ C_1 = C_2 = C, \]

那么上述公式可以进一步简化为：

\[ C_T = \frac{C_1\,C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C\cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}. \]

那么我们可以看到，当且仅当两个串联电容器相同且电容值相等时，总电容 \(C_T\) 恰好等于电容值 \(C\) 的一半，也即：

\[ C_T = \frac{C}{2}. \]

对于串联连接的电阻，所有电压降之和等于施加电压 \(V_S\)（基尔霍夫电压定律），串联电容器亦是如此。

在串联电容器中，由于电源频率的作用，电容器表现出电抗，其阻抗会在每只电容器上产生电压降，因此串联电容器构成了一个电容分压网络。

结果是，电阻分压公式同样可用于求解两只串联电容器的各自电压。那么：

\[ V_{C_X} \;=\; \frac{C_T}{C_X}\,V_S \]

其中：

• \(C_X\) 是所讨论电容器的电容；

• \(V_S\) 是加在串联链上的电源电压；

• \(V_{C_X}\) 是目标电容器两端的电压降。

教程示例 2

在 12 V 交流电源下，求以下两组串联电容的等效电容及各电容器的有效电压降：

a) 两只电容各为 \(47\,\mathrm{nF}\)

b) 一只电容为 \(470\,\mathrm{nF}\) 串联一只电容为 \(1\,\mu\mathrm{F}\)

---

a) 等值串联电容

Total Equal Capacitance

\[ C_T = \frac{C_1\,C_2}{C_1 + C_2} = \frac{47\,\mathrm{nF}\times47\,\mathrm{nF}}{47\,\mathrm{nF}+47\,\mathrm{nF}} =23.5\,\mathrm{nF} \]

各电容电压降：

\[ V_{C1}=V_{C2} =\frac{C_T}{C_1}\,V_S =\frac{23.5\,\mathrm{nF}}{47\,\mathrm{nF}}\times12\,\mathrm{V} =6\,\mathrm{V} \]

---

b) 不等值串联电容

Total Unequal Capacitance

\[ C_T = \frac{C_1\,C_2}{C_1 + C_2} = \frac{470\,\mathrm{nF}\times1\,\mu\mathrm{F}}{470\,\mathrm{nF}+1\,\mu\mathrm{F}} =320\,\mathrm{nF} \]

各电容电压降：

\[ V_{C1} =\frac{C_T}{C_1}\,V_S =\frac{320\,\mathrm{nF}}{470\,\mathrm{nF}}\times12\,\mathrm{V} \approx8.16\,\mathrm{V} \]

\[ V_{C2} =\frac{C_T}{C_2}\,V_S =\frac{320\,\mathrm{nF}}{1\,\mu\mathrm{F}}\times12\,\mathrm{V} \approx3.84\,\mathrm{V} \]

由于基尔霍夫电压定律（KVL）适用于该串联电路及所有串联电路，各电容器两端电压降之和必等于电源电压 \(V_S\)。因此：

\[ 8.16 + 3.84 = 12\,\mathrm{V}. \]

此外，如果电容值相同（如第一个示例中的 \(47\,\mathrm{nF}\)），则电源电压会均匀地分配到每只电容器两端。这是因为串联链中每只电容器所带的电荷量相等且精确相同（\(Q = C \times V = 0.564\,\mu\mathrm{C}\)），故每只电容器承受电压为总电压的一半（对于多于两只电容器的情况，则为相应的百分比分压）。

而当串联电容值不同时，电容值较大的那只承受较低电压，电容值较小的那只承受较高电压。在上述第二个示例中，它们分别为 \(3.84\,\mathrm{V} 和 8.16\,\mathrm{V}\)。这种电压差异使各电容器能够在其极板上保持相同的电荷量 Q。

\[ \begin{align} Q_{C1}&=V_{C1}\times C_{1}=8.16\,\mathrm V\times 470\,\mathrm{nF}=3.84\,\mu\mathrm C, \\ Q_{C2}&=V_{C2}\times C_{2}=3.84\,\mathrm V\times 1\,\mu\mathrm F=3.84\,\mu\mathrm C. \end{align} \]

注意，串联连接的两只电容器上的电压降比率将始终保持不变，无论电源频率如何，因为它们的容抗 \(X_C\) 会按比例保持相同。

因此，即使将电源频率从 \(100\,\mathrm{Hz}\) 提高到 \(100\,\mathrm{kHz}\)，在我们上面的简单示例中，两个电压降 \(8.16\,\mathrm V\) 和 \(3.84\,\mathrm V\) 仍然不变。

尽管在不同电容值下各电容器两端的电压降会不同，但由于串联电路中流经的电流相同——所有电容器都被相同数量的电子所充电——所以各极板上的库仑电荷量 \(Q\) 是相等的。

换言之，如果各电容器极板上的电荷量相同（ \(Q\) 保持不变），那么当电容减小时，由于电荷相对于电容而言较大，极板电压降就会增大；同理，较大的电容由于电荷相对于电容而言较小，其极板电压降就会减小。

教程总结

然后，总结如下：

• 含有串联电容器的电路的总电容 \(C_T\) 等于各单个电容倒数之和的倒数：

\[ \frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots \]

• 对于串联连接的电容器，所有电容器的充电电流相同：

\[ i_T = i_1 = i_2 = i_3 = \dots \]

串联的两只或多只电容器极板上的库仑电荷量 \(Q\) 恒相等。

• 由于电荷 \(Q\) 相同且恒定，电容器两端的电压降仅由电容值决定：

\[ V = \frac{Q}{C}. \]

当电容值较小时，电压降会增大；当电容值较大时，电压降会减小。

附录

电力场景下的串联电容

应用场景	作用	说明
高压电容器组	构建高耐压电容器	单个电容器的额定电压通常在几百伏到几千伏之间，若要在数十千伏甚至上百千伏的系统中使用，就必须将多只同容量电容器串联，并在两端并联均压电阻／均压电容，以保证各只电容器分担相同电压。常用于静止无功补偿（SVC）、静止同步补偿（STATCOM）等装置中的主回路电容器。
电容式电压互感器 (CCVT)	电压分压与谐波滤波	CCVT 中常用两级或多级串联电容器构成初级分压器，不仅分压比大，还兼具对高次谐波的滤波作用，下游再加补偿电感或阻尼网络，得到准确的二次电压波形，供保护和测量使用。
直流母线电容串联	实现高压直流母线	在风电／光伏逆变器或 HVDC 换流装置的直流侧，需要数百到上千伏的母线电压。常将多组低压电解或薄膜电容串联，并加均压电阻，构成直流中间环节的储能与滤波元件。
谐振试验与滤波	构造谐振回路／滤除谐波	高压谐振试验装置中，为获得特定的谐振频率会将电容器与电抗器串联；在电力系统谐波治理中，也可将几只电容串联后并联电抗，针对某次谐波形成低阻抗通路，将谐波“旁路”至地／中性点。
EMI/EMC 安规滤波器	差模电容与安全等级	在电网侧 EMI 滤波 X 电容多为多只电容串联，以满足更高的介质耐压要求；串联间通常并联均压电阻，确保每只电容分担相同直流偏置电压，并通过金属外壳实现安全接地。

单词表

English Term	中文翻译
High-voltage capacitor bank	高压电容器组
Voltage rating	电压耐压
Balancing resistor	均压电阻
Balancing capacitor	均压电容
CCVT (Capacitor Voltage Transformer)	电容式电压互感器
Voltage divider	分压器
Harmonic filtering	谐波滤波
DC bus capacitor	直流母线电容
Wind/PV inverter	风电／光伏逆变器
HVDC converter	HVDC 换流装置
SVC (Static Var Compensator)	静止无功补偿装置（SVC）
STATCOM (Static Synchronous Compensator)	静止同步补偿装置（STATCOM）
EMI/EMC safety filter	EMI/EMC 安规滤波器
X capacitor	X 电容
ESR (Equivalent Series Resistance)	等效串联电阻（ESR）
Damping network	阻尼网络
Capacitive reactance (X_C)	容抗（X_C）
Mid-point voltage	中点电压
Resonant test	谐振试验
Energy storage	储能

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本文翻译自 electronics-tutorials

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