LR 串联电路¶
LR Series Circuit
所有的线圈、感性器件、扼流圈与变压器在其自身周围都会产生磁场，可将其视为由一个电感（\(L\)）与一个电阻（\(R\)）串联组成，形成一个 LR 串联电路。
感性线圈与电磁铁（solenoid）并非纯粹的感性器件，而是由一个电感与一个电阻连接在一起，构成一个基本的 LR 串联电路。
在本节关于电感的第一篇教程中，我们曾简要讨论过电感的时间常数，指出流经电感的电流不可能瞬间变化，而是以由感性线圈内部自感反电动势（back-emf）决定的恒定速率增加。
换句话说，电路中的电感会对流过它的电流 i 的变化产生阻碍。虽然这完全正确，但当时我们假设的是理想电感——其线圈绕组不含任何电阻或电容。
然而在现实中，“所有”的线圈——无论是扼流圈、螺线管、电磁继电器，还是任何绕制元件——都会不可避免地具有一定的电阻（无论多小）。这是因为用于绕制线圈的导线（通常为铜线）本身具有电阻值。
因此，出于工程上的实际目的，我们可以把一个简单线圈视为一个“电感” L 与一个“电阻” R 串联。换言之，构成一个 LR 串联电路。
一个 LR 串联电路基本上由一个电感（电感量为 L）与一个电阻（电阻为 R）串联而成。这里的电阻 R 是构成电感线圈的导线匝（或回路）的直流（DC）电阻值。请考虑下图所示的 LR 串联电路。
The LR Series Circuit
上面的 LR 串联电路接在一个恒定电压源（电池）与一个开关两端。设开关 S 在 \(t=0\)之前保持断开，且在 \(t=0\) 闭合后一直保持闭合，从而产生一个“阶跃响应（step response）”类型的电压输入。电流 \(i\) 开始在电路中流动，但不会迅速上升到其最大值 \(I_{\max}\)，该最大值由欧姆定律中的比值 \(V/R\) 决定。
这种受限效应源于电感中自感电动势（由磁通增长产生，楞次定律）的存在。经过一段时间后，电压源对自感电动势的影响被抵消，电流趋于恒定，感生电流与磁场（随时间变化部分）减小为零。
我们可以使用基尔霍夫电压定律（KVL）来表示电路各处的电压降，并据此推导电流的表达式。
KVL 给出：
电阻 R 上的电压降为（欧姆定律）：
电感 L 上的电压降为我们熟悉的表达式：
于是，该 LR 串联电路各处电压降的最终关系式为：
由此可见，电阻上的电压降取决于电流 i，而电感上的电压降取决于电流变化率 \(\dfrac{di}{dt}\)。当 \(t=0\) 时电流为零（\(i=0\)），上式亦是一阶微分方程，可据此写出任意时刻的电流表达式。
Expression for the Current in an LR Series Circuit
其中：
-
\(V\) 的单位为伏特（\(\mathrm{V}\)）；
-
\(R\) 的单位为欧姆（\(\Omega\)）；
-
\(L\) 的单位为亨利（\(\mathrm{H}\)）；
-
\(t\)的单位为秒（\(\mathrm{s}\)）；
-
\(e\)为自然对数的底数， \(e \approx 2.71828\)。
\(LR\) 串联电路的时间常数（\(\tau\)）为 \(\displaystyle \tau=\frac{L}{R}\)，其中 \(\displaystyle \frac{V}{R}\) 表示在经历五个时间常数之后的最终稳态电流值。当地流在 \(5\tau\) 处达到该最大稳态值时，线圈的电感“好像”已经降为零，更像是一个短路，被有效地从电路中“移除”。
因此，流过线圈的电流仅由线圈绕组的欧姆电阻所限制。电流增长的图形表示（体现电路的电压/时间特性）可表示为：
暂态特性曲线¶
Transient Characteristics Curves
由于电阻上的电压降 \(V_R\) 等于 \(I\cdot R\)（欧姆定律），它将与电流具有相同的指数增长趋势和曲线形状。然而，电感上的电压降 \(V_L\) 将等于： \(V\,e^{-Rt/L}\)。因此，在 \(t=0\)（或开关刚闭合时），电感两端的电压 \(V_L\) 的初值等于电池电压，随后按指数规律衰减至零，如上图曲线所示。
LR 串联电路中电流达到最大稳态值所需的时间大约等于 5 个时间常数，即 \(5\tau\)。该时间常数 \(\tau\) 以秒为单位，由下式给出： \(\tau=\frac{L}{R}\)，其中 \(R\) 为电阻的欧姆值， \(L\) 为电感的亨利值。这就构成了一个 \(RL\) 充电电路的基础，其中 \(5\tau\) 也可以理解为 “ \(5\cdot(L/R)\)” 或电路的暂态时间。
任何感性电路的暂态时间由电感与电阻之间的关系决定。例如，在电阻取固定值的情况下，电感越大，暂态时间越慢，因此 LR 串联电路的时间常数越长。同样地，在电感取固定值的情况下，电阻越小，暂态时间越长。
然而，当电感固定时，增大电阻会使暂态时间、也即时间常数变短。这是因为随着电阻增大，电路的电阻性占比越来越高，相比之下电感的作用可忽略不计。如果电阻值相对于电感足够大，则暂态时间将被有效地缩短到几乎为零。
教程示例 No.1¶
一个线圈的电感为 \(40\,\mathrm{mH}\)，电阻为 \(2\,\Omega\)，将它们连接成一个 \(LR\) 串联电路，并接到 \(20\,\mathrm{V}\)的直流电源上。
a) 电流的最终稳态值为多少？
b) 该 RL 串联电路的时间常数为多少？
c) 该 RL 串联电路的暂态时间为多少？
d) 在 \(10\,\mathrm{ms}\) 后的感应电动势数值为多少？
e) 开关闭合后一个时间常数时的电路电流为多少？
该电路的时间常数 \(\tau\) 在问题 (b) 中计算为 \(20\,\mathrm{ms}\)，于是该时刻的电流如上所示。
你可能已经注意到，问题 (e) 的答案 \(6.32\,\mathrm{A}\)（一个时间常数处）等于最终稳态电流 \(10\,\mathrm{A} 的 63.2\%\)。这个 \(63.2\% 或 0.632\times I_{\max}\) 的数值也与上面的暂态曲线相对应。
LR 串联电路中的功率¶
由上可知，电压源向电路提供功率的瞬时速率为：
电阻以热的形式耗散功率的瞬时速率为：
电感以磁势能形式存储能量的速率为：
于是，对 \(RL\)串联电路，将电压方程两边同乘以电流 \(i\)，可得电路总功率：
其中，第一项 \(i^{2}R\) 表示电阻以热形式耗散的功率，第二项 \(L\,i\,\dfrac{di}{dt}\) 表示电感吸收/释放的功率，即其磁能对应的功率项。
附录¶
LR电路电流表达式推导¶
下面给出 \(\displaystyle I(t)=\frac{V}{R}\!\left(1-e^{-Rt/L}\right)\) 的一步步推导（阶跃电压 \(V\)、零初始电流）：
1) 建立微分方程（KVL）¶
对 LR 串联电路（电阻 \(R\) 与电感 \(L\) 串联），在 \(t=0\) 时刻闭合开关并加上恒定电压 \(V\)（单位阶跃），基尔霍夫电压定律给出
整理为一阶线性常微分方程：
初始条件：由于电感电流不能突变，且闭合前电路断开，故
2) 线性方程通法（积分因子）¶
积分因子取
两边同乘 \(\mu(t)\)：
左边是导数的乘积公式：
两边从 0 到 t 积分：
代入 \(i(0)=0\) 并计算积分：
故
两边同除 \(e^{(R/L)t}\)：
3) 以时间常数表示¶
定义时间常数 \(\displaystyle \tau=\frac{L}{R}\)，则
4) 验证（代回原方程）¶
代入 \(Ri+L\,di/dt\)：
与右端恒压相等，成立；并且 \(i(0)=0,\ i(\infty)=V/R\) 符合物理直觉。
扩展（一般初值） 若初始电流为 \(i(0)=i_0\)（而非 0），同法可得
这就是一阶电路的通解形式： \(终值 +（初值−终值）\times 指数衰减\)。
LR电路电流表达式推导（欧拉公式推导）¶
由 KVL：
1) 齐次解¶
令 \(i_h=C\,e^{st}\)（用欧拉思路，指数是线性常系数方程的本征函数）：
故
2) 特解¶
右端为常数，取常数特解 \(i_p=I_0\)：
3) 通解与初值¶
用 \(i(0)=0\)求 \(C\)： \(0=\frac{V}{R}+C\Rightarrow C=-\frac{V}{R}\)。 于是
4) 顺带给出端口电压¶
其中 \(\tau=\dfrac{L}{R}\)。
要点：指数函数 \(e^{st}\)（由欧拉公式 \(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\) 推广）是线性常系数微分方程的特征解，先解齐次得到衰减指数，再配一个常数特解，最后用初值定系数，过程最短最直观。
电路中的暂态和稳态¶
（1）概念与术语 “暂态”（transient）是指电路在外部激励或电路拓扑发生突变（如合闸、断开、切换源）后，状态量（电压/电流）由原先工况过渡到新工况的过程；“稳态”（steady state）是指暂态过程结束后的长期状态。对直流激励，稳态常表现为常值；对周期激励（如正弦或周期开关），稳态常表现为周期稳态，即波形按周期 T 重复： \(x(t+T)=x(t)\)。
（2）数学表述与分解 在线性时不变（LTI）电路中，任一状态量 x(t) 的解可分解为
其中 \(x_{\text{tran}}(t)\) 为自然响应（齐次解），由初始条件与电路极点决定； \(x_{\text{ss}}(t)\) 为强迫响应（特解），由外部激励 f(t) 与网络函数决定。常见地，
即当所有极点实部为负时，暂态项指数衰减并最终消失，电路进入稳态。
（3）直流阶跃激励下的典型性质
-
电容在直流稳态相当于开路：\(i_C=C\,\dfrac{dv_C}{dt}\to 0\)。
-
电感在直流稳态相当于短路：\(v_L=L\,\dfrac{di_L}{dt}\to 0\)。 以一阶电路为例： RC 充电（阶跃 V）
RL 充电（阶跃 V）
上式中指数项即为暂态，自然衰减；常值项即为稳态（直流时 \(\displaystyle i_{L,\infty}=\frac{V}{R}、\displaystyle v_{C,\infty}=V\)）。
（4）正弦稳态（AC） 若激励为 \(f(t)=\Re\{F e^{j\omega t}\}\)，则稳态响应
幅值与相位由网络函数 \(H(j\omega)\) 决定；暂态仍由 \(e^{s_k t}\) 给出并随时间消失。正弦稳态分析常用相量法。
（5）时间常数与“ \(5\tau\)”准则 一阶电路的时间常数定义为
在阶跃响应中，偏离终值的误差按 \(e^{-t/\tau}\) 衰减：
-
\(t=\tau\) 时，尚存 \(e^{-1}\approx 36.8\%\) 的误差，即达到终值的 \(63.2\%\)；
-
\(t\approx 5\tau\) 时，误差 \(\approx 0.67\%\)，工程上可视为进入稳态。 高阶系统可用主导极点近似，取 \(\tau_{\text{dom}}=1/|\Re\{s_{\text{dom}}\}|\) 估算过渡速度。
（6）工程判据与常见检查
-
直流稳态判据： \(L\) 上 \(v_L=L\,\dfrac{di}{dt}\approx 0\)， \(C\) 上 \(i_C=C\,\dfrac{dv}{dt}\approx 0\)。
-
周期稳态判据： \(x(t+T)=x(t)\)；能量在各周期内收支平衡。
-
误差阈值法：当 \(\big|x_{\text{tran}}(t)\big|\le \varepsilon\,\big|x_{\text{ss}}\big|\)（如 \(\varepsilon=1\%\)）即可认为进入稳态，对一阶近似 \(t\ge \ln(1/\varepsilon)\,\tau\)。
（7）物理解读与注意事项
-
“电感在稳态等效短路”“电容在稳态等效开路”只适用于直流稳态；在有频率成分或开关边沿存在时， \(di/dt\)、 \(dv/dt\) 不为零，储能元件仍显著作用。
-
对固定 \(L\)，增大 \(R\) 会缩短 \(\tau=L/R\)，暂态更快结束；对固定 \(R\)，增大 \(L\) 会拉长暂态。
本小节给出了暂态与稳态的严格定义、数学分解、典型公式与判据，便于在后续章节中对 RC、RL、RLC 以及周期开关电路进行系统分析与设计。
单词表¶
| English | 中文 | 词性/类别 | 备注 / 公式（LaTeX） |
| LR (RL) series circuit | LR（RL）串联电路 | n. | \(V(t)=iR+L\,\dfrac{di}{dt}\) |
| inductor | 电感（器） | n. | 符号 \(L\)，单位 \(\mathrm{H}\)（henry, 亨利） |
| inductance | 电感量 | n. | \(v_L=L\,\dfrac{di}{dt}\) |
| resistor | 电阻（器） | n. | 符号 \(R\)，单位 \(\Omega\) |
| resistance | 电阻（值） | n. | \(v_R=iR\) |
| coil / winding | 线圈 / 绕组 | n. | 由导线匝构成，实际有电阻 |
| solenoid | 螺线管 | n. | 一种线圈结构 |
| choke | 扼流圈 | n. | 抑制交流/高频电流 |
| transformer | 变压器 | n. | 由耦合线圈组成 |
| magnetic field | 磁场 | n. | 由电流产生 |
| magnetic flux | 磁通 | n. | 符号 \(\Phi\)，单位 \(\mathrm{Wb}\) |
| back emf / self-induced emf | 反电动势 / 自感电动势 | n. | 由 \(\dfrac{di}{dt}\) 引起（楞次定律） |
| Lenz’s law | 楞次定律 | n. | 反抗原因变化的感应极性 |
| Ohm’s law | 欧姆定律 | n. | \(v=iR\) |
| Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) | 基尔霍夫电压定律 | n. | 回路电压代数和为零 |
| step input / step response | 阶跃输入 / 阶跃响应 | n. | \(V\) 在 \(t=0\) 突变为常值 |
| time constant | 时间常数 | n. | \(\tau=\dfrac{L}{R}\)（RL 电路） |
| transient | 暂态 | n. | 自然响应（齐次解），随时间衰减 |
| steady state | 稳态 | n. | 强迫响应（特解）；直流时趋于常值 |
| natural response | 自然响应 | n. | \(C e^{-t/\tau}\) 形式 |
| forced response | 强迫响应 | n. | 由外部激励决定的特解 |
| exponential decay/rise | 指数衰减/上升 | n. | \(e^{-t/\tau}；1-e^{-t/\tau}\) |
| Euler’s number e | 自然对数底 e | n. | \(e\approx 2.71828\) |
| initial condition | 初始条件 | n. | 如 \(i(0)=0\) |
| final value / steady value | 终值 / 稳态值 | n. | \(i_\infty=\dfrac{V}{R}\) |
| 5τ rule | \(5\tau\) 准则 | n. | 约在 \(t\ge 5\tau\) 视为稳态 |
| 63.2% rule | 63.2% 规则 | n. | \(t=\tau\) 时 \(1-e^{-1}=63.2\%\) |
| voltage across inductor | 电感两端电压 | n. | \(v_L(t)=V e^{-t/\tau}\)（阶跃） |
| current through inductor | 电感电流 | n. | \(i(t)=\dfrac{V}{R}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) |
| short circuit (DC steady) | （直流稳态）短路 | n. | 电感于直流稳态等效短路 |
| open circuit (DC steady) | （直流稳态）开路 | n. | 电容于直流稳态等效开路 |
| power | 功率 | n. | \(P=Vi；P=i^2R；P=i^2R+L\,i\,\dfrac{di}{dt}\) |
| energy (magnetic) | （磁）能量 | n. | \(W_L=\dfrac{1}{2}Li^2\) |
| induced emf | 感应电动势 | n. | 由变化磁通产生 |
| exponential constant | 指数常数 | n. | 与极点/时间常数相关 |
| pole | 极点 | n. | 一阶 \(RL\) 的极点 \(s=-\dfrac{R}{L}\) |
| units: volt / ampere / ohm / henry | 单位：伏 / 安 / 欧姆 / 亨利 | n. | \(\mathrm{V},\ \mathrm{A},\ \Omega,\ \mathrm{H}\) |
| rise time | 上升时间 | n. | 一阶常用 \(t_r\approx 2.2\tau\)(10–90%) |
| transient time | 暂态时间 | n. | 近似取 \(5\tau\) |
公式总结¶
| 序号 | 公式（LaTeX） | 含义（简要） |
| 1 | \(V(t)=i(t)\,R+L\,\dfrac{di(t)}{dt}\) | KVL：回路电压 = 电阻压降 + 电感感应电压 |
| 2 | \(\tau=\dfrac{L}{R}\) | 时间常数，决定响应快慢 |
| 3 | \(i(t)=\dfrac{V}{R}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) | 阶跃电压、零初值下的电感电流 |
| 4 | \(i(t)=\dfrac{V}{R}+\Bigl(i_0-\dfrac{V}{R}\Bigr)e^{-t/\tau}\) | 一般初值的一阶通解 |
| 5 | \(v_R(t)=i(t)\,R=V\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) | 电阻电压的指数上升 |
| 6 | \(v_L(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}=V\,e^{-t/\tau}\) | 电感电压的指数衰减（ \(t=0^+\) 时等于 \(V\)） |
| 7 | \(P=V\,i\) | 电源对外瞬时功率 |
| 8 | \(P_R=i^2R\) | 电阻耗散功率（热） |
| 9 | \(P_L=L\,i\,\dfrac{di}{dt}\) | 电感吸收/释放功率（磁能变化率） |
| 10 | \(P_{\text{total}}=i^2R+L\,i\,\dfrac{di}{dt}\) | RL 支路吸收的总瞬时功率 |
| 11 | \(W_L=\dfrac{1}{2}L\,i^2\) | 电感磁场储能 |
声明¶
本文翻译自 electronics-tutorials
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