并联电容器¶

Capacitors in Parallel

当电容器并联连接时，其两个端子都分别与另一电容器的对应端子相连。

并联连接的所有电容器两端所加的电压 (\(V_c\)) 相同。因此，并联电容器具有共同的电压，其表达式为：

\[ V_{C1} = V_{C2} = V_{C3} = V_{AB} = 12\,\mathrm{V} \]

在下图电路中，电容 \(C_1、C_2 和 C_3\) 均作为并联支路连接在 A 点和 B 点之间，如下所示。

当电容器并联连接时，电路中的总电容或等效电容 \(C_T\) 等于所有单个电容器电容值之和。其原因在于电容 \(C_1\) 的上极板连接到 \(C_2\) 的上极板，后者又连接到 \(C_3\) 的上极板，以此类推。

同理，所有电容器的下极板也相互连接。这样就相当于三组极板相互贴合，形成了一块更大的单一极板，从而增大了有效极板面积（单位：\(\mathrm{m}^2\)）。

由于电容与极板面积成正比（\(C = \varepsilon \dfrac{A}{d}\)），并联组合的电容值也随之增大。因此，并联电容器的等效电容可表示为各电容器电容之和。你可能已经注意到，并联电容的总电容计算方式与串联电阻的总电阻计算方式相同。

流经每个电容器的电流与加在其上的电压有关。对上述电路应用基尔霍夫电流定律（KCL），我们得到：

\[ i_1 = C_1 \frac{dv}{dt},\quad i_2 = C_2 \frac{dv}{dt},\quad i_3 = C_3 \frac{dv}{dt} \]

\[ i_T = i_1 + i_2 + i_3 \]

\[ \therefore\;i_T = C_1 \frac{dv}{dt} + C_2 \frac{dv}{dt} + C_3 \frac{dv}{dt} \]

还可以改写成:

\[ i_T = \bigl(C_1 + C_2 + C_3\bigr)\,\frac{dv}{dt} \\ i_T = C_T\,\frac{dv}{dt} \]

那么我们可以将电路的总电容 \(C_T\) 定义为所有单个电容值之和，从而得到并联电容器的一般方程：

并联电容器方程¶

Parallel Capacitors Equation

\[ C_T = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots + C_n \]

当将电容器并联相加时，必须先将它们全部换算到相同的电容单位（例如 \(\mu\mathrm{F}、nF 或 pF\)）。此外，我们可以看到流过总电容值 \(C_T\) 的电流与总电路电流 \(i_T\) 相同。

我们也可以使用电荷公式

\[ Q = C\,V \]

根据电容器极板上的电荷来定义并联电路的总电容。所有电容器极板上存储的总电荷 \(Q_T\) 等于各电容器存储电荷之和，因此，

\[ \begin{align} Q_T &= Q_1 + Q_2 + Q_3, & Q &= C V,\\ \therefore\quad Q_T &= C_T V = C_1 V + C_2 V + C_3 V,\\ C_T &= C_1 + C_2 + C_3 \end{align} \]

由于并联电容器的电压 \(V\) 相同，我们可以将上述方程的两边同时除以电压，仅剩下电容值；通过简单地将各个电容值相加即可得到总电容 \(C_T\)。

此外，该方程与任何支路中并联电容器的数量无关，因此对于任意数量的 \(N\) 个并联电容器都可以使用此公式，因为这只是一个简单的加法过程。

因此，从上述示例中取三电容值，可计算电路等效总电容 \(C_T\) 为：

\[ C_T = C_1 + C_2 + C_3 = 0.1\,\mu\mathrm{F} + 0.2\,\mu\mathrm{F} + 0.3\,\mu\mathrm{F} = 0.6\,\mu\mathrm{F} \]

一个要点需铭记：在并联电容电路中，任何两个或以上电容器并联时的总电容 \(C_T\) 必然大于组中最大电容的数值，因为我们是将各电容值相加。因此在上例中， \(C_T=0.6\,\mu\mathrm{F}\)，而并联组合中最大的单个电容仅为 \(0.3\,\mu\mathrm{F}\)。

当连接四个、五个、六个或更多电容器时，电路总电容 \(C_T\) 仍为所有单个电容之和；如我们所知，并联电路的总电容始终大于其中最大电容的值。

这是因为我们有效地增加了极板的总表面积。若使用两个相同电容器，则极板面积翻倍，组合电容也随之翻倍；以此类推。

计算以下电容器并联时的总电容（单位：微法拉， \(\mu\mathrm{F}\)）：

a) 两个各为 \(47\,\mathrm{nF}\) 的电容器

\[ C_T = C_1 + C_2 = 47\,\mathrm{nF} + 47\,\mathrm{nF} = 94\,\mathrm{nF} = 0.094\,\mu\mathrm{F} \]

b) 一个 \(470\,\mathrm{nF}\) 的电容器与一个 \(1\,\mu\mathrm{F}\)的电容器并联

\[ C_T = C_1 + C_2 = 470\,\mathrm{nF} + 1\,\mu\mathrm{F} \]

因此

\[ C_T = 470\,\mathrm{nF} + 1000\,\mathrm{nF} = 1470\,\mathrm{nF} = 1.47\,\mu\mathrm{F} \]

由此可见，含有两个或更多并联电容器的电路的总电容 \(C_T\) 等于各电容值之和，这是由于有效极板面积增加所致。

在下一个关于电容器的教程中，我们将探讨电容器的串联连接以及该组合对电路总电容、电压和电流的影响。

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