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并联电感器

Inductors in Parallel

当两个或多个电感器的两端分别互相连接时，即称它们为并联连接。并联电感器上的电压降相同，因此，并联电感器具有公共电压。在下例中，电感器两端的电压表示为：

\[ V_{L1}=V_{L2}=V_{L3}=V_{AB}\,\dots \]

在下图电路中，电感器 \(L_1、L_2 和 L_3\)全部并联连接在 A 点和 B 点之间。

Inductors in Parallel Circuit

在先前的串联电感教程中，我们了解到电路的总电感 \(L_T\) 等于各电感之和；而对于并联连接的电感，等效电感 \(L_T\) 的计算方式不同。

根据基尔霍夫电流定律（KCL），并联电感器中流过的总电流为

\[ I_T = I_1 + I_2 + I_3 \]

我们又知道，自感电动势可表示为

\[ V = L \frac{di}{dt}. \]

将并联组合中流过的总电流 \(i = i_1 + i_2 + i_3\) 代入上述表达式，得到并联组合两端的电压为

\[ V_{AB} = -L_T \frac{d}{dt}(i_1 + i_2 + i_3) = L_T\biggl(\frac{d i_1}{d t} + \frac{d i_2}{d t} + \frac{d i_3}{d t}\biggr). \]

又将 \(\displaystyle \frac{d i}{d t} = \frac{v}{L}\) 代入，可得

\[ V_{AB} = L_T\Bigl(\frac{V}{L_1} + \frac{V}{L_2} + \frac{V}{L_3}\Bigr). \]

进一步化简，可得并联电感器的等效电感公式：

\[ \frac{1}{L_T} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} \quad\Longrightarrow\quad L_T = \Bigl(\tfrac{1}{L_1} + \tfrac{1}{L_2} + \tfrac{1}{L_3}\Bigr)^{-1}. \]

这里，就像并联电阻的计算一样，单个电感的倒数（\(\tfrac{1}{L_n}\)）值相加，而不是它们本身。但同样地，与串联电感一样，上述公式仅在两个或多个电感之间没有互感或磁耦合（即它们相互磁隔离）时才成立。如果线圈之间存在耦合，总电感还会受到耦合程度的影响。

该计算方法可用于计算单个并联网络中任意数量电感器的总电感。但如果只有两个电感器并联，则可以使用更简单、更快速的公式来求总电感值，即：

\[ L_T = \frac{L_1 \times L_2}{L_1 + L_2}. \]

关于并联电感电路，有一点很重要：任何两个或多个电感器并联时，其总电感（\(L_T\)）总是小于并联支路中最小电感的数值。

教程例题No.1

三个电感器分别为 \(60\,\mathrm{mH}、120\,\mathrm{mH}\) 和 \(75\,\mathrm{mH}\)，在它们之间不存在任何互感，且三者并联连接。求该并联组合的总电感值（以毫亨为单位）。

解： 并联电感的等效电感满足

\[ \frac{1}{L_T} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}. \]

因此，

\[ L_T = \frac{1}{\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2} + \dfrac{1}{L_3}} = \frac{1}{\dfrac{1}{60\,\mathrm{mH}} + \dfrac{1}{120\,\mathrm{mH}} + \dfrac{1}{75\,\mathrm{mH}}} = \frac{1}{38.333\,\mathrm{mH^{-1}}} = 26\,\mathrm{mH}. \]

互感并联电感器

Mutually Coupled Parallel Inductors

当电感器以并联方式连接，并且其中一个电感的磁场与另一个电感相互连结时，互感的作用会根据线圈之间的磁耦合程度而使总电感值增加或减少。此互感效应取决于线圈之间的距离以及它们的相对取向。

互感并联电感器可分为“助磁”或“抗磁”两种方式：

  • 并联助磁：与无互感时相比，增大等效总电感。

  • 并联抗磁：与无互感时相比，减小等效总电感。

可通过在线圈图示上使用极性点（polarity dots）或极性标记来表示助磁或抗磁的连接方式，如下所示。

并联助磁电感器

Parallel Aiding Inductors

上图中两只并联助磁电感器两端的电压相同，因此电流 \(i_1\) 和 \(i_2\) 会变化以保持电压相等。于是，两只并联助磁电感器的总电感 \(L_T\) 表示为：

\[ L_T = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M}. \]

其中， \(2M\) 表示线圈 \(L_1\) 对 \(L_2\) 以及线圈 \(L_2\) 对 \(L_1\) 的相互影响。

  • 若两只电感相等且磁耦合完全（例如在环形磁芯电路中），则
\[ L_T = L_1 = L_2 = M. \]
  • 若互感为零，则总电感退化为无互感情况下的并联值，即
\[ L_T = \frac{L}{2}. \]

并联抗磁电感器

Parallel Opposing Inductors

若将其中一只线圈翻转，则得到并联抗磁电感器，此时两线圈之间的互感 \(M\) 对各自电感产生抵消作用，而非助磁，如下所示。

然后，两只并联抗磁电感器的总电感 \(L_T\) 表示为：

\[ L_T = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2M}. \]

这时，如果两只电感值相等且它们之间的磁耦合完全，则等效电感和电感器上的自感电动势都将为零，因为两只电感互相抵消。

这是因为当电流\(i_1\)和 \(i_2\) 分别流过每只电感时，二者产生的互感磁通在大小相等但方向相反的情况下相互抵消，总互感磁通为零。

因此，这两只线圈对电路中的电流流动等效于短路，所以等效电感 \(L_T\) 变为

\[ L_T = \frac{L \pm M}{2}. \]

教程例题 No.2

两个电感器的自感分别为 \(75\,\mathrm{mH} 和 55\,\mathrm{mH}\)，以助磁并联方式连接。它们的互感为 \(22.5\,\mathrm{mH}\)。求并联组合的总电感 \(L_T\)。

\[ \begin{align} L_T &= \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M} \\ &= \frac{75\,\mathrm{mH}\times 55\,\mathrm{mH} - \bigl(22.5\,\mathrm{mH}\bigr)^2}{75\,\mathrm{mH} + 55\,\mathrm{mH} - 2\times 22.5\,\mathrm{mH}} \\ &= 42.6\,\mathrm{mH}. \end{align} \]

教程例题 No.3

计算如下电感电路的等效电感：

  1. 计算第一个电感支路 \(L_A\)（电感器 \(L_5\) 与电感器 \(L_6\) 和 \(L_7\) 并联）
\[ L_A \;=\;\frac{L_5\times(L_6+L_7)}{L_5+L_6+L_7} =\frac{50\,\mathrm{mH}\times(40\,\mathrm{mH}+100\,\mathrm{mH})}{50\,\mathrm{mH}+40\,\mathrm{mH}+100\,\mathrm{mH}} =36.8\,\mathrm{mH}. \]
  1. 计算第二个电感支路 \(L_B\)（电感器 \(L_3\) 与电感器 \(L_4\) 和 \(L_A\) 并联）
\[ L_B \;=\;\frac{L_3\times(L_4+L_A)}{L_3+L_4+L_A} =\frac{30\,\mathrm{mH}\times(20\,\mathrm{mH}+36.8\,\mathrm{mH})}{30\,\mathrm{mH}+20\,\mathrm{mH}+36.8\,\mathrm{mH}} =19.6\,\mathrm{mH}. \]
  1. 计算等效电路电感 \(L_{EQ}\)（电感器 \(L_1\) 与电感器 \(L_2\) 和 \(L_B\) 并联）
\[ L_{EQ} \;=\;\frac{L_1\times(L_2+L_B)}{L_1+L_2+L_B} =\frac{20\,\mathrm{mH}\times(40\,\mathrm{mH}+19.6\,\mathrm{mH})}{20\,\mathrm{mH}+40\,\mathrm{mH}+19.6\,\mathrm{mH}} =15\,\mathrm{mH}. \]

最后得到该电路的等效电感为 \(15\,\mathrm{mH}\)。

教程小结

  • 与电阻相似，并联连接的电感器两端电压相同，记作 \(V\)。并联电感会降低电路的等效电感，若将 \(N\) 个电感并联，则等效电感 \(L_T\) 为各电感倒数之和的倒数：
\[ L_T \;=\; \Bigl(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{L_n}\Bigr)^{-1}. \]

  • 与串联互感电感器相同，互感并联电感可分为“助磁”或“抗磁”两类，取决于线圈是同向耦合（增加总电感）还是反向耦合（减少总电感）。

  • 到目前为止，我们仅考察了理想的无源电感器。在下一节电感器教程中，我们将研究具有实阻的非理想电感器，其等效电路为电感器与电阻串联，并分析该电路的时间常数。

附录

单词表
English Term 中文翻译
Parallel inductors 并联电感器
Inductance 电感
Self-inductance 自感
Mutual inductance 互感
Magnetic coupling 磁耦合
Aiding 助磁
Opposing 抗磁
Equivalent inductance 等效电感
Kirchhoff’s Current Law (KCL) 基尔霍夫电流定律
Reciprocal 倒数
Ideal inductor 理想电感器
Non-ideal inductor 非理想电感器
Time constant 时间常数
Series connected inductors 串联电感器
Resistive coil 电阻线圈
Equivalent circuit 等效电路
Magnetic flux 磁通
Toroidal circuit 环形磁路
Short circuit 短路
Voltage drop 电压降
Branch 支路

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本文翻译自 electronics-tutorials

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