节点电压分析¶

Nodal Voltage Analysis

节点电压分析用于求解电路中不同节点之间的未知电压降，这些节点为两个或多个元件提供公共连接点。

节点电压分析与之前的网孔分析互补，二者同样强大，且都基于矩阵分析的基本概念。顾名思义，节点电压分析利用基尔霍夫第一定律的“节点”方程来求解电路中的电压势。

因此，将所有这些节点电压相加，结果为零。若电路中有 \(n\) 个节点，则会有 \(n-1\) 个独立的节点方程，这些方程足以描述并求解整个电路。

在每个节点处写下基尔霍夫第一定律方程，即“流入节点的电流在数值上等于流出节点的电流”，然后将每个电流用跨支路的电压表示。对于 \(n\) 个节点，其中一个节点将作为参考节点，所有其他电压均相对于该公共节点来测量。

例如，考虑前一节中的电路。

节点电压分析电路

Nodal Voltage Analysis Circuit

在上述电路中，节点 D 被选为参考节点，其它三个节点相对于节点 D 分别假设具有电压 \(V_a、V_b 和 V_c\)。例如：

\[ \frac{V_a - V_b}{10} \;+\;\frac{V_c - V_b}{20} \;=\;\frac{V_b}{40}\,. \]

基尔霍夫第一定律

由于 \(V_a = 10\,\mathrm{V}\) 且 \(V_c = 20\,\mathrm{V}，V_b\) 可由下式求得：

\[ \left(1 - \frac{V_b}{10}\right) + \left(1 - \frac{V_b}{20}\right) = \frac{V_b}{40} \]

\[ 2 = V_b\Bigl(\frac{1}{40} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10}\Bigr) \]

\[ V_b = \frac{80}{7}\,\mathrm{V} \]

\[ I_3 = \frac{2}{7}\,\mathrm{A}\ \text{或}\ 0.286\,\mathrm{A} \]

再次得到相同的 \(0.286\ \mathrm{A}\) 值，这与我们在前一节教程中使用基尔霍夫电路定律所求得的结果相同。

从到目前为止我们所讨论的网孔分析和节点电压分析方法来看，这是求解此特定电路最简单的方法。通常，当电路中存在较多电流源时，更适合使用节点电压分析。此时，网络的定义为：

\[ \mathbf{I} = \mathbf{Y}\,\mathbf{V} \]

其中 \(\mathbf{I}\) 是驱动电流源向量， \(\mathbf{V}\) 是待求节点电压向量， \(\mathbf{Y}\) 是网络的导纳矩阵，其作用于 \(\mathbf{V}\) 可得到 \(\mathbf{I}\)。

教程小结¶

求解节点电压分析方程的基本步骤如下：

写出电流向量，假设流入节点的电流为正。即对 N 个独立节点，得到一个 (\(N\times1\)) 的电流向量。
写出网络的导纳矩阵 \(\mathbf{Y}\)，其中：

\[ Y_{11} = \text{第 1 个节点的总导纳}, \\ \quad Y_{22} = \text{第 2 个节点的总导纳}, \\ \quad Y_{JK} = \text{连接节点 }J\text{ 与节点 }K\text{ 的总导纳}. \]

对于具有 N 个独立节点的网络， \(\mathbf{Y}\) 是一个 ( \(N\times N\)) 的矩阵，其中 \(Y_{nn}\) 为正值， \(Y_{jk}\) 为负值或零。
电压向量是一个 ( \(N\times1\)) 向量，列出待求的 \(N\) 个节点电压。

我们现在已经看到，有若干定理可以简化线性电路的分析。在下一个教程中，我们将学习戴维南定理，该定理允许将由线性电阻和电源组成的网络，用一个包含单一电压源和一个串联电阻的等效电路来表示。

附录¶

节点电压分析举例¶

电路描述

参考节点：地（0 V）。
节点 1：有一个 2 A 的电流源注入节点 1，通过电阻 \(R_1=5\:\Omega\) 接地。
节点 2：有一个 1 A 的电流源注入节点 2，通过电阻 \(R_2=20\:\Omega\) 接地。
节点 1 与节点 2 之间 有一个电阻 \(R_{12}=10\:\Omega\) 连接。

1. 写电流向量 \(\mathbf{I}\)¶

\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_1\\[0.3em] I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[0.3em] 1 \end{pmatrix} \quad(\mathrm{单位：A}) \]

2. 写导纳矩阵 \(\mathbf{Y}\)¶

\[ Y_{11} = \frac1{R_1} + \frac1{R_{12}} = \frac1{5} + \frac1{10} = 0.2 + 0.1 = 0.3\;\mathrm S, \]

\[ Y_{22} = \frac1{R_{12}} + \frac1{R_2} = \frac1{10} + \frac1{20} = 0.1 + 0.05 = 0.15\;\mathrm S, \]

\[ Y_{12} = Y_{21} = -\frac1{R_{12}} = -0.1\;\mathrm S. \]

所以

\[ \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1\\[0.3em] -0.1 & 0.15 \end{pmatrix}. \]

3. 写节点电压向量 \(\mathbf{V}\)¶

\[ \mathbf{V} = \begin{pmatrix} V_1\\[0.3em] V_2 \end{pmatrix} \quad(\mathrm{单位：V}). \]

4. 建立并求解方程 \(\mathbf{I} = \mathbf{Y}\,\mathbf{V}\)¶

\[ \begin{pmatrix} 2\\[0.3em] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1\\[0.3em] -0.1 & 0.15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_1\\[0.3em] V_2 \end{pmatrix}. \]

对应的标量方程组为：

\[ \begin{cases} 0.3\,V_1 \;-\;0.1\,V_2 = 2,\\[0.4em] -0.1\,V_1 + 0.15\,V_2 = 1. \end{cases} \]

计算行列式：

\[ \Delta = 0.3\times0.15 \;-\;(-0.1)\times(-0.1) = 0.045 - 0.01 = 0.035. \]

由克莱姆法则，

\[ V_1 = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -0.1\\[0.3em] 1 & 0.15 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{2\cdot0.15 - (-0.1)\cdot1}{0.035} = \frac{0.3 + 0.1}{0.035} = \frac{0.4}{0.035} \approx 11.43\;\mathrm V, \]

\[ V_2 = \frac{ \begin{vmatrix} 0.3 & 2\\[0.3em] -0.1 & 1 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{0.3\cdot1 - 2\cdot(-0.1)}{0.035} = \frac{0.3 + 0.2}{0.035} = \frac{0.5}{0.035} \approx 14.29\;\mathrm V. \]

结果：

\[ V_1 \approx 11.43\;\mathrm V,\quad V_2 \approx 14.29\;\mathrm V. \]

此例完整演示了如何按“\(\mathbf{I}=[Y][V]\)”形式搭建方程并求解节点电压。

网孔分析与节点分析¶


特点	网孔分析	节点分析
基础定律	基尔霍夫第二定律（KVL）——环路电压	基尔霍夫第一定律（KCL）——节点电流
未知量	网孔电流 \(I_1, I_2, \dots\)	节点电压 \(V_1, V_2, \dots\)
方程形式	\(\displaystyle \sum_{\text{环路}} V = 0\)	\(\displaystyle \sum_{\text{节点}} I = 0\)
矩阵表达	\([\;R\;]\,[I] = [V]\)	\([\;Y\;]\,[V] = [I]\)
适用场景	电压源和电阻网络较多，回路数较少时	电流源和电阻网络较多，节点数较少时
优缺点	对含电流源的环路要先做源变换	对含电压源的节点要先做源变换

单词表¶


English	中文
Nodal Analysis	节点电压分析
Mesh Analysis	网孔电流分析
Circuit	电路
Node	节点
Reference Node	参考节点
Voltage	电压
Current	电流
Branch	支路
Voltage Drop	电压降
Potential	电势
Kirchhoff’s First Law	基尔霍夫第一定律
Kirchhoff’s Second Law	基尔霍夫第二定律
KCL (Current Law)	基尔霍夫电流定律
KVL (Voltage Law)	基尔霍夫电压定律
Matrix Analysis	矩阵分析
Admittance	导纳
Resistance	电阻
Admittance Matrix	导纳矩阵
Resistance Matrix	电阻矩阵
Driving Current Source	驱动电流源
Voltage Source	电压源
Current Source	电流源
Independent	独立的
Summation	求和
Solve	求解
Unknown	未知（量）
Thevenin’s Theorem	戴维南定理
Equivalent Circuit	等效电路
Series Resistance	串联电阻
Vector	向量
Network	网络
Complement	互补
Tutorial	教程
Summary	小结

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本文翻译自 electronics-tutorials

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