串联 RLC 电路分析

串联 RLC 电路由一个电阻、电容和电感串联连接在交流电源上。

到目前为止，我们已经看到，当把三种基本无源元件——电阻（Resistance）、电感（Inductance）和电容（Capacitance）——连接到正弦交流电压时，它们之间的相位关系有很大差异。但我们可以将这些无源元件串联，形成一个串联 RLC电路，并将其与交流电源相连。

• 在纯欧姆电阻中，电压波形与电流同相；

• 在纯电感中，电压波形超前电流 90°，因此记作 ELI；

• 在纯电容中，电压波形滞后电流 90°，因此记作 ICE。

这个相位差 \(\theta\)取决于所用元件的电抗值（reactance， \(X\)）

• 当元件为电阻性时 \(X=0\)；

• 为电感性时 \(X>0\)；

• 为电容性时 \(X<0\)

从而它们的阻抗（impedance， \(Z\)）分别为：

元件阻抗

Circuit Element	Resistance (R)	Reactance (X)	Impedance (Z)
Resistor	R	0	\(Z_R = R = R\angle0^\circ\)
Inductor	0	\(\omega L\)	\(Z_L = j\omega L = \omega L\angle+90^\circ\)
Capacitor	0	\(\tfrac{1}{\omega C}\)	\(Z_C = \tfrac{1}{j\omega C} = \tfrac{1}{\omega C}\angle-90^\circ\)

与其分别分析每个无源元件，我们可以将三者组合成一个串联 RLC 电路。串联 RLC电路的分析与之前研究的串联 RL 和串联 RC 电路相同，只不过这一次需要同时考虑 \(X_L\) 和 \(X_C\)的幅值，以求得整个电路的总电抗。串联 RLC 电路被归为二阶电路second-order，因为它包含两个储能元件：电感 L 和电容 C。下面考虑下图所示的 RLC 电路：

串联RLC电路

上图所示的串联 RLC 电路只有一个回路，流经电路的瞬时电流在每个元件中均相同。由于电感和电容的电抗 \(X_L\) 和 \(X_C\) 都随电源频率 \(f\)而变化，串联 RLC 电路的正弦响应也会随频率改变。因此，流过电阻 R、电感 L 和电容 C 各元件的电压降在相位上会出现如下差异：

\[ i_{(t)} = I_{\max}\sin(\omega t) \]

• 纯电阻上的瞬时电压 \(V_R\) 与电流“同相”

• 纯电感上的瞬时电压 \(V_L\) 相对于电流“超前”90°

• 纯电容上的瞬时电压 \(V_C\) 相对于电流“滞后”90°

• 因此， \(V_L\)与 \(V_C\) 相位相差180°，彼此相互抵消

对于上述串联 RLC 电路，其相量示意可表示为：

在串联 RLC电路中，电源电压的幅值由三个元件上的电压—— \(V_R、V_L 和 V_C\)组成，且三者共用同一电流。因此，在矢量图中以电流矢量为参考，将三个电压矢量分别相对于该参考绘制，如下所示：

各电压矢量

这就意味着，我们不能简单地将 \(V_R、V_L 和 V_C\) 相加来得到跨在这三种元件上的电源电压 \(V_S\)，因为这三者的电压矢量相对于电流矢量指向不同的方向。因此，我们必须将这三个元件的电压矢量以相量形式矢量相加，才能得到电源电压 \(V_S\)。

基尔霍夫电压定律（KVL）对回路和节点电路均适用，它指出：在任何闭合回路中，各电压降之和等于电动势之和。将此定律应用于上述三个电压，就能求得电源电压 \(V_S\) 的幅值。

串联 RLC 电路的瞬时电压

\[ \begin{aligned} \text{KVL:}\quad & V_S - V_R - V_L - V_C = 0,\\ \text{where}\quad & V_R = I R,\quad V_L = L\frac{d i}{d t},\quad V_C = \frac{Q}{C},\\ \Rightarrow\quad & V_S - I R - L\frac{d i}{d t} - \frac{Q}{C} = 0,\\ \therefore\quad & V_S = I R + L\frac{d i}{d t} + \frac{Q}{C}. \end{aligned} \]

串联 RLC 电路的相量图是将上述三个独立的相量组合起来，并以矢量方式相加这些电压而得到的。由于流过电路的电流在三个元件中相同，因此可将电流相量作为参考矢量，并按照各自的相位角在参考矢量的基础上绘制三个电压相量。

得到的电源电压相量 \(V_S\)，可先将两个电压相量 \(V_L\) 和 \(V_C\) 矢量相加，再将此合成矢量与剩余的电压相量 \(V_R\) 相加。 \(V_S\) 与电流 \(i\)之间形成的角度即为电路的相位角，如下所示。

串联 RLC 电路的相量图

从上图右侧的相量图可以看出，电压矢量构成了一个直角三角形，其中斜边为 \(V_S\)，水平轴为 \(V_R\)，垂直轴为 \(V_L - V_C\)。希望你能注意到，这正是我们熟悉的电压三角形，因此我们可以在这个电压三角形上应用勾股定理，来数学地求出 \(V_S\) 的值，如下所示。

串联 RLC 电路的电压三角形

\[ \begin{aligned} V_S^2 &= V_R^2 + (V_L - V_C)^2,\\ V_S &= \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}. \end{aligned} \]

请注意，在使用上述方程时，最终的无功电压必须始终为正值，也就是说应始终用较大的电压减去较小的电压；我们不能将负电压加到 \(V_R\) 上，所以写成 \(V_L - V_C\) 或 \(V_C - V_L\) 都是正确的，前提是要用较大的值减去较小的值，否则计算出的 \(V_S\) 将不正确。（也就是绝对值的意思）

如上所述，在串联 RLC 电路中，电流在所有元件中的幅值和相位均相同。因此，每个元件上的电压也可以根据流过的电流，用数学形式表示为：

\[ \begin{aligned} V_R &= i\,R\;\sin\bigl(\omega t + 0^\circ\bigr) \;=\; i\,R,\\ V_L &= i\,X_L\;\sin\bigl(\omega t + 90^\circ\bigr) \;=\; i\,j\omega L,\\ V_C &= i\,X_C\;\sin\bigl(\omega t - 90^\circ\bigr) \;=\; i\,\frac{1}{j\omega C}. \end{aligned} \]

通过将这些值代入上述电压三角形的勾股定理公式，我们将得到：

\[ \begin{aligned} V_R &= i\,R,\\ V_L &= i\,X_L,\\ V_C &= i\,X_C,\\ V_S &= \sqrt{(iR)^2 + \bigl(iX_L - iX_C\bigr)^2},\\ V_S &= i\,\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2},\\ \therefore\quad V_S &= i\,Z,\quad Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}. \end{aligned} \]

由此可见，电源电压的幅值与流过电路的电流幅值成正比。这个比例常数称为电路的阻抗（Impedance），它最终取决于电阻 \(R\) 以及电感和电容的电抗 \(X_L 和 X_C\)。

在上述串联 RLC 电路中，电流所受的总阻抗由三部分组成： \(X_L、X_C 和 R\)。任意串联 RLC电路的总无功电抗 \(X_T\) 定义为：

\[ X_T = \bigl|\,X_L - X_C\bigr| \quad\text{即}\quad X_T = \begin{cases} X_L - X_C, & X_L \ge X_C,\\ X_C - X_L, & X_C > X_L. \end{cases} \]

因此，电路的总阻抗可视为驱动电流流过该电路所需的电压与电流之比。

串联 RLC 电路的阻抗

由于三个电压矢量彼此错相， \(R、X_L 和 X_C\) 之间也必须错相，其关系即这三者的矢量和。通过矢量相加可得到电路的总阻抗 \(Z\)。这些阻抗可以用阻抗三角形来表示，如下所示：

串联 RLC 电路的阻抗三角形

串联 RLC 电路的阻抗 \(Z\) 与角频率 \(\omega\) 有关，电感电抗 \(X_L\) 和电容电抗 \(X_C\) 亦是如此。如果电容电抗大于电感电抗（ \(X_C > X_L\)），则电路的总体电抗呈电容性，产生超前相位角。

同样地，如果电感电抗大于电容电抗（ \(X_L > X_C\)），则总体电抗呈电感性，使串联电路产生滞后相位角。当两者电抗相等（ \(X_L = X_C\)）时，发生这种情况的角频率称为共振频率，在此会产生共振resonance效应，我们将在另一个教程中更详细地讨论。

因此，电路中电流的幅值取决于施加于串联 RLC 电路的频率。当阻抗 \(Z\) 达到最大时，电流为最小；反之，当阻抗 \(Z\) 达到最小时，电流为最大。于是，上述阻抗公式可以重写为：

\[ Z = \sqrt{R^2 + \Bigl(\omega L - \frac{1}{\omega C}\Bigr)^2}. \]

电源电压 \(V_S\) 与电流 \(i\)之间的相位角 \(\theta\)，与阻抗三角形中 \(Z\) 与 \(R\) 之间的角度相同。该相位角可为正或负，取决于电源电压是领先还是滞后于电路电流，并可根据阻抗三角形的欧姆值，通过以下数学公式计算：

\[ \cos\phi = \frac{R}{Z},\quad \sin\phi = \frac{X_L - X_C}{Z},\quad \tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}. \]

串联RLC电路示例1

一个串联 RLC 电路，包含一个 12 Ω 的电阻、0.15 H 的电感和 100 μF 的电容，连接在一个 100 V、50 Hz 的交流电源上。计算该电路的总阻抗、流过电路的电流、功率因数，并绘制电压相量图。

电感电抗：

\[ X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0.15 = 47.13\ \Omega \]

电容电抗：

\[ X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 100\times10^{-6}} = 31.83\ \Omega \]

总阻抗：

\[ \begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2},\\ Z &= \sqrt{12^2 + (47.13 - 31.83)^2} = \sqrt{144 + 234} = 19.4\ \Omega \end{aligned} \]

电路电流：

\[ I = \frac{V_S}{Z} = \frac{100}{19.4} = 5.14\ \mathrm{A} \]

各元件电压幅值：

\[ \begin{aligned} V_R &= I \,R = 5.14 \times 12 = 61.7\ \mathrm{V},\\ V_L &= I \,X_L = 5.14 \times 47.13 = 242.2\ \mathrm{V},\\ V_C &= I \,X_C = 5.14 \times 31.83 = 163.5\ \mathrm{V} \end{aligned} \]

功率因数与相位角：

\[ \begin{aligned} \cos\phi &= \frac{R}{Z} = \frac{12}{19.4} = 0.619,\\ \therefore\ \ &\arccos(0.619) \approx 51.8^\circ\ (\text{滞后}) \end{aligned} \]

相位图:

由于相位角 \(\theta\) 被算作正值 \(51.8^\circ\)，电路的总体电抗必定是电感性的。因为在串联 RLC 电路中我们已将电流矢量作为参考矢量，所以电流相比电源电压落后 \(51.8^\circ\)，相位角为滞后，这也正符合我们的助记 “ELI”。

总结

• 在包含电阻 R、电感 L 和电容 C 的串联 RLC 电路中，电源电压 \(V_S\) 是由三个分量 \(V_R、V_L 和 V_C\)的相量和构成，三者共用同一电流 \(I\)。

• 由于电流 \(I\) 在所有元件中相同，因此在绘制电压三角形时，电流相量被用作水平参考轴。

• 电路的阻抗 \(Z\) 表示对电流流动的总阻碍。对于串联 RLC 电路，可通过将电压三角形的各边除以电流 \(I\) 来得到对应的阻抗三角形：

• 电阻元件上的电压降为 \(I\times R\)，

• 两个无功元件上的电压净降为 \(I\times X = I\,X_L - I\,X_C\)，

• 电源电压为 \(I\times Z\)。 三角形中 \(V_S\) 与 \(I\) 之间的角度即为相位角 \(\theta\)。

• 如果串联 RLC 电路中包含多个纯或非纯的电阻、电容或电感元件，则可以将同类元件合并成一个等效元件。例如：

\[ R_T = R_1 + R_2 + R_3 + \dots,\quad L_T = L_1 + L_2 + L_3 + \dots \]

这样就能将包含多个元件的复杂电路简化为一个等效阻抗。

在下一个关于并联 RLC 电路的教程中，我们将研究这三个元件以并联电路方式连接时，在施加稳态正弦交流波形时的电压–电流关系，并给出相应的相量图表示。我们还将首次引入导纳（Admittance）的概念。

附件

二阶电路

“二阶电路”指的是其描述方程（电压或电流的微分方程）的阶数为 2 的电路。通俗地说，它具有两个独立的储能元件（ \(L 和 C\)），因此其动态特性由二阶常微分方程来描述。主要特点有：

1. 储能元件个数 串联 RLC电路中既有一个电感 \(L\)，又有一个电容 \(C\)，总共两个储能元件。

2. 微分方程阶数 应用基尔霍夫电压定律后，会得到包含二阶导数项（来自 \(L\)）和一阶导数项（来自 \(R\)）、以及零阶项（来自 \(C\)）的二阶常微分方程：

\[ L\,\frac{d^2i}{dt^2} + R\,\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}\,i = v_{\text{in}}(t) \]

1. 自然响应特性 二阶系统的自然响应一般由两个指数（或一对复共轭极点）决定，可能是过阻尼、临界阻尼或欠阻尼三种情况。

2. 频率响应 二阶电路的频率响应会出现共振峰，中心频率 \(\omega_0 = \tfrac{1}{\sqrt{LC}}\)，品质因数 \(Q = \tfrac{\omega_0 L}{R}\)。

单词表

English	中文
Series RLC Circuit	串联 RLC 电路
Resistance	电阻
Inductance	电感
Capacitance	电容
Reactance	电抗
Impedance	阻抗
Admittance	导纳
Phase	相位
Phase angle	相位角
Phasor	相量
Phasor diagram	相量图
Voltage	电压
Current	电流
Sinusoidal	正弦（波形）
Alternating supply	交流电源
Pure	纯（净）
Ohmic	欧姆的
Resistor	电阻器
Inductor	电感器
Capacitor	电容器
Lead	超前
Lag	滞后
Mnemonic	助记
ELI	ELI（电感–电压–电流）
ICE	ICE（电流–电容–电压）
Frequency	频率
Angular frequency	角频率
Resonant frequency	共振频率
Resonance	共振
Magnitude	幅值
Amplitude	幅值
KVL / Kirchhoff’s Voltage Law	基尔霍夫电压定律
EMF	电动势
Instantaneous	瞬时
Loop circuit	回路电路
Nodal circuit	节点电路
Pythagoras’s theorem	勾股定理
Voltage triangle	电压三角形
Hypotenuse	斜边
Horizontal axis	水平轴
Vertical axis	垂直轴
Vector	矢量
Vectorially	矢量地
Phasor sum	相量和
Second-order circuit	二阶电路
Energy storage element	储能元件
Example	示例

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本文翻译自 electronics-tutorials

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