交流电阻与阻抗¶

AC Resistance and Impedance

当一个电阻连接到时变电源time-varying supply时，其阻抗就等同于它的交流电阻，因为流过电阻的电流与其两端电压同相位。

在直流电路中，对电流流动的阻碍称为电阻resistance。在交流电路中，这种阻碍称为阻抗impedance。阻抗以欧姆（ \(\Omega\)）为单位，是在同一电路中同时包含交流电阻和交流电抗reactance时，对电流流动的等效阻力。

电阻 (Resistance, R) 电路元件对电流持续流动的阻碍，表现为能量以热的形式耗散。

电抗 (Reactance, X) 电路元件对交流电流变化的“动能”阻碍，表现为在电感或电容中来回存储与释放能量，不以热耗散。

在之前的教程中，我们已经看到，在包含正弦波形的交流电路中，可以使用电压和电流的相量（phasor）及复数来表示这些量。

我们还了解到，以往在时域time-domain中绘制的正弦波形和函数，可以转换到空间域（即相量域phasor-domain），从而绘制相量图来确定电压—电流之间的相量关系。

既然我们已掌握了如何将电压或电流表示为相量，接下来就可以研究这一表示方法在基本无源电路元件（例如连接到单相交流电源的交流电阻）上的应用。

任何理想的基本电路元件（如电阻器resistors）都可以通过其电压和电流用数学式描述；在关于电阻器的教程中，我们看到，纯欧姆电阻器两端的电压与流过它的电流成线性比例，这正是欧姆定律Ohm’s Law。请看下图所示电路。

正弦电源下的交流电阻¶

当开关switch闭合时，交流电压 V 会施加到电阻 R 上。该电压会驱动电流流过电阻，并随着施加电压的正弦变化而同步增减。由于负载是纯电阻，电流和电压的最大值（峰值）会在完全相同的时刻达到并降至零，也就是说它们同步升降，因此称为“同相”（in-phase）。

流经交流电阻的电流随时间呈正弦变化，可表示为：

\[ I_{(t)} = I_m \,\sin(\omega t + \theta) \]

其中 \(I_m\) 是电流的最大振幅， \(\theta\) 是其相位角。此外，对于任意流过电阻的电流 \(i\)，电阻两端的最大（峰值）电压可由欧姆定律给出：

\[ V_{(t)} = R \cdot I_{(t)} = R\,I_m \,\sin(\omega t + \theta) \]

即电压等于电阻 R 与流过电阻的瞬时电流 \(I_{(t)}\) 的乘积，也等于 \(R\) 与电流峰值 \(I_m\) 及正弦项 \(\sin(\omega t + \theta)\) 的乘积。

而电流的瞬时值 \(i\)为：

\[ I_{R(t)} = I_{R(\max)} \,\sin(\omega t) \]

因此，对于纯电阻电路，流经电阻的交流电流与施加在其两端的电压成正比，并遵循相同的正弦波形。由于电源频率对电压和电流都是相同的，它们的相量也相同，因此电流“同相”于电压（ \(\theta = 0\)）。

换句话说，在纯交流电阻中，电流与电压之间不存在相位差；当电压达到最大、最小和零点时，电流也会分别达到它的最大、最小和零点，如下所示。

交流电阻的正弦波形

Sinusoidal Waveforms for AC Resistance

这一“同相”效应也可以用相量图来表示。在复数域中，电阻只是一个实数，意味着不存在 \(j\)或虚部。因此，既然电压和电流彼此同相（ \(\theta = 0\)），它们之间没有相位差，两个量的向量就叠加在同一参考轴上。从正弦时域到相量域的变换如下。

交流电阻的相量图¶

由于相量表示的是电压和电流量的有效值，而向量表示的是峰值，将上述时域表达式的峰值除以 \(\sqrt 2\)，可得到相应的电压–电流相量关系如下：

这句话的理解可以参考时域表达形式到相量域表达关系

RMS关系¶

\[ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\angle \theta\ \mathrm{A} \quad\text{and}\quad V = R\,\frac{I_m}{\sqrt{2}}\angle \theta\ \mathrm{V} \]

\[ \therefore\ R = \frac{V}{I} = \frac{\bigl(R\frac{I_m}{\sqrt{2}}\bigr)\angle \theta}{\bigl(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\bigr)\angle \theta} \]

相量关系¶

\[ V = R\,I_{\mathrm{RMS}}\angle \theta \quad\text{and}\quad I = I_{\mathrm{RMS}}\angle \theta \]

\[ V\angle \theta_v = I\angle \theta_i \]

\[ \therefore\ \theta_v = \theta_i \quad(\text{in-phase}) \]

这表明，在交流电路中，纯电阻元件的电压与电流相量之间所形成的关系，与同一电阻器在直流电路中电压与电流之间的关系完全相同。然而，在直流电路中，这种关系通常称为“电阻”（Resistance），遵循欧姆定律；而在正弦交流电路中，这种电压–电流关系则称为“阻抗”（Impedance）。换句话说，在交流电路中，电气中的“电阻”被称为“阻抗”。

在这两种情况下，对于纯电阻元件，电压–电流（V–I）关系始终是线性的。因此，当在交流电路中使用电阻器时，一般使用术语“阻抗”，其符号为 \(Z\)，用以表示该电阻的阻抗。因此，我们可以正确地说，对于一个电阻器，其直流电阻等于交流阻抗，即 \(R = Z\)

阻抗向量用字母 \(Z\) 表示，其单位为欧姆（\(\Omega\)），与直流电路中的单位相同。由此，阻抗（或交流电阻）可以定义为：

交流阻抗（AC Impedance）

\[ Z = \frac{V}{I}\;\mathrm{\Omega} \]

阻抗也可以用复数表示，因为当电路中存在无功元件时，它取决于电路的频率 \(\omega\)。但在纯电阻电路中，这一无功分量始终为零，因此以复数形式表示的纯电阻电路的阻抗的一般表达式为：

\[ Z = R + j0 = R {\Omega's} \]

施加在电阻上的瞬时交流电压表示为：

\[ v = V_m \sin(\omega t) \]

而流过电阻的瞬时交流电流表示为：

\[ i = I_m \sin(\omega t) \]

由于在纯电阻交流电路中，电压与电流之间的相位角为 0°，功率因数也就是 \(\cos0°=1.0\)。因此，电阻消耗的瞬时功率可表示为：

\[ P = v \times i = V_m\sin(\omega t)\times I_m\sin(\omega t) = V_mI_m\sin^2(\omega t) \]

因此：

\[ P = \frac{V_mI_m}{2}\bigl(1 - \cos 2\omega t\bigr) \]

由于 \(v\) 和 \(i\)彼此同相， \(\cos2\omega t\) 项在一个周期内平均后为零，因此电阻在一个完整周期内消耗的功率可表示为：

\[ P = \frac{V_m I_m}{2}\bigl(1 - \cos2\omega t\bigr) = \frac{V_m I_m}{2}(1 - 0). \\ \therefore P_{\max} = \frac{V_m I_m}{2}\ \text{瓦}\\ or \\ P_{\mathrm{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt2}\times\frac{I_m}{\sqrt2} = V_{\mathrm{rms}}\times I_{\mathrm{rms}}\ \text{瓦}. \]

由于电阻性或无功电路的平均功率取决于相位角，而在纯电阻电路中该角度 \(\theta = 0\)，因此功率因数等于 1，故交流电阻所消耗的平均功率可用欧姆定律简单地表示为：

\[ P = V\cdot I = I^2R = \frac{V^2}{R}\quad\text{瓦特} \]

这些方程与直流电路中的欧姆定律完全相同。对于一个交流电阻器而言，在一个完整周期内所消耗的有效功率等同于同一电阻器在直流电路中消耗的功率。这是因为在纯电阻电路中，电压 v 和电流 i 同相位，因此功率始终大于零。

许多交流电路（例如加热元件和照明灯具）都只包含纯欧姆电阻，其电感inductance或电容capacitance可以忽略不计，电路的总阻抗即为该电阻。

在这样的电路中，我们可以像分析直流电路那样，使用欧姆定律、基尔霍夫定律及简单的电路定律来计算电压、电流、阻抗和功率。在实际应用这些定律时，通常只采用有效值（RMS）进行计算。

交流电阻示例 1¶

一个电加热元件的交流电阻为 60 Ω，连接在 240 V rms 单相交流电源上。计算从电源汲取的电流以及加热元件消耗的功率。同时绘制相应的相量图，显示电压与电流之间的相位关系。

电源电流：

\[ I = \frac{V}{R} = \frac{240\;\text{V}}{60\;\Omega} = 4.0\;\text{A} \]

交流电阻消耗的有功功率计算如下：

\[ P = I^2R = 4^2 \times 60 = 960\ \mathrm{W} \]

由于在纯电阻元件中不存在相位差（ \(\theta = 0\)），相应的相量图如下：

交流电阻示例 2¶

一个正弦电压电源定义为：

\[ V(t) = 100 \times \cos\bigl(\omega t + 30^\circ\bigr) \]

它连接到一个 50 \(\Omega\)的纯电阻上。

求该电阻的阻抗
求电路中流过电阻的电流峰值
绘制相应的相量图

在纯电阻电路中，电阻两端的正弦电压与电源电压相同。将此电压从时域表达式转换到相量域表达式，可得：

电阻两端的瞬时电压：

\[ V_{R(t)} = 100\cos\bigl(\omega t + 30^\circ\bigr) \]

转换到相量域后：

\[ V_R = 100\angle 30^\circ\;\text{V} \]

应用欧姆定律得到:

\[ I_R = \frac{V_R}{R} = \frac{100\angle30^\circ}{50\,\Omega} = 2\angle30^\circ\;\mathrm{A} \]

因此，相应的相量图如下：

阻抗概述¶

在纯欧姆交流电阻中，电流与电压同相位，因为二者之间没有相位差。流经电阻的电流与施加在其两端的电压成正比，在交流电路中这种线性关系称为阻抗 Impedance。

阻抗用字母 \(Z\) 表示。对于纯欧姆电阻，阻抗是一个复数，其实部即为实际的交流电阻值 \(R\)，虚部始终为零（即 \(j0\)）。因此，在含有交流电阻的电路中，可以直接使用欧姆定律来计算电压和电流。

在下一个关于交流电感的教程中，我们将研究当稳态正弦交流波形作用于电感时的电压—电流关系，并展示纯电感与非纯电感的相量图表示。

附录¶

时域表达形式到相量域表达关系¶

这句话可以分成两部分来理解：

向量（Vector）vs. 相量（Phasor）
- 在时域中，我们常写出电压或电流的瞬时值：

\[ v(t)=V_{\rm m}\sin(\omega t+\theta),\quad i(t)=I_{\rm m}\sin(\omega t+\theta) \]

  这里的 \(V_{\rm m}\) 和 \(I_{\rm m}\) 都是峰值（peak）——也就是波形能达到的最大振幅。

- 而相量图中，我们并不画出瞬时随时间变化的波形，而是画一个“等效”长度恒定的箭头来表示一个正弦量。这个箭头的长度，不是取峰值，而是取**有效值（RMS,均方根）**，用来直接反映电路中平均能量的输送能力。

为什么除以 \(\sqrt2\)
- 对于正弦波，定义它的有效值为：

\[ V_{\rm rms} \;=\;\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T\bigl[V_{\rm m}\sin(\omega t)\bigr]^2dt} \;=\;\frac{V_{\rm m}}{\sqrt2}\,, \]

  > 推理过程
  >
  > 1.  **RMS 定义** 对于周期 T 的正弦波
  >
  >

\[ v(t) = V_m\sin(\omega t) \]

  >
  >       
  >
  >     它的有效值定义为：
  >
  >

\[ V_{\rm rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T [v(t)]^2 \,\mathrm{d}t} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2(\omega t)\,\mathrm{d}t}\,. \]

  >
  > <!-- -->
  >
  > 2.  **计算定积分** 利用恒等式 \(\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos2x)\)，有
  >
  >

\[ \int_0^T \sin^2(\omega t)\,\mathrm{d}t = \int_0^T \frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\Bigl[T - \underbrace{\frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\Big|_0^T}_{0}\Bigr] = \frac{T}{2}. \]

  >
  >       
  >
  >     这里 \(\sin(2\omega t)\) 在一整周期 \(T\) 内的积分正好为零。
  >
  > 3.  **得到** \(\sqrt2\) 将结果代回 RMS 公式：
  >
  >

\[ V_{\rm rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\,V_m^2\cdot\frac{T}{2}} = V_m\sqrt{\frac12} = \frac{V_m}{\sqrt2}. \]

  同理

\[ I_{\rm rms}=I_{\rm m}/\sqrt2 \]

- 因此，当我们要把时域中的峰值 \(V_{\rm m}\)、 \(I_{\rm m}\) 转换成相量图中所用的“坐标长度”——即有效值，就必须各自除以 \(\sqrt2\)。

综合起来，这句话的意思是：

“因为在相量图里我们用的是 RMS（有效值）来表示电压和电流，而不是它们的峰值；所以先把时域中写出的峰值除以 \(\sqrt2\)，就得到了相量表示的数值，随后就能画出那条长度为 \(V_{\rm m}/\sqrt2\)（或者 \(I_{\rm m}/\sqrt2\)）的箭头了。”

基尔霍夫电流定律¶

基尔霍夫定律（Kirchhoff’s Laws）是电路分析的两条基本定律，适用于任意线性电路，包括直流电路和交流（相量）电路。

1. 基尔霍夫电流定律（Kirchhoff’s Current Law, KCL）¶

定义：任意电路节点（junction）处，流入该节点的电流代数和等于流出该节点的电流代数和。
物理含义：电荷守恒——节点处不会累积电荷。
数学表达：

\[ \sum_{k=1}^n I_k = 0 \]

其中正负号约定常见做法：流入为正，流出为负（或反之），只要保持一致即可。

示例：对于三条支路在同一节点汇合，若有 \(I_1、I_2 流入，I_3 流出\)，则

\[ I_1 + I_2 - I_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I_3 = I_1 + I_2. \]

2. 基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s Voltage Law, KVL）¶

定义：任意闭合回路（loop）中，各元件沿回路一周的电压降代数和等于零。
物理含义：能量守恒——电荷在回路中“环行”一周，总能量增减为零。
数学表达：

\[ \sum_{k=1}^m V_k = 0 \]

其中 \(V_k\) 取正负依据：沿选定的环路方向，遇到电源升压为正，遇到电压降（如电阻压降）为负。

示例：对于一个简单串联回路，依次经过电源 \(V_s\) 和电阻 \(R\)，若环路方向与电源升压方向相同，则

\[ +V_s - I\,R = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_s = I\,R \]

3. 在交流（相量）电路中的应用¶

相量形式：将电压、电流均视为相量，KCL 与 KVL 同样成立，只是电压和电流都带有幅值与相位：

\[ \sum I_k\angle\theta_k = 0, \qquad \sum V_k\angle\phi_k = 0 \]

迭代解法：配合节点电压法、回路电流法，可用矩阵或戴维南／诺顿等效电路简化复杂网络的分析。

单词表¶


English	中文
AC (alternating current)	交流
DC (direct current)	直流
Resistance	电阻
Impedance	阻抗
Ohmic	欧姆（的）
Phasor	相量
Phasor diagram	相量图
Sinusoidal	正弦的
Waveform	波形
Time-domain	时域
Phasor-domain	相量域
Complex number	复数
Real part	实部
Imaginary part	虚部
Reactive component	无功分量
Angular frequency	角频率
Frequency	频率
RMS (root mean square)	有效值（均方根）
Peak value	峰值
Maximum	最大（值）
Phase angle	相位角
In-phase	同相
Pure resistive circuit	纯电阻电路
Ohm’s Law	欧姆定律
V–I relationship	V–I 关系
Power factor	功率因数
Instantaneous power	瞬时功率
Average power	平均功率
Active power	有功功率
Reactive power	无功功率
Kirchhoff’s Law	基尔霍夫定律
KCL (Current Law)	基尔霍夫电流定律
KVL (Voltage Law)	基尔霍夫电压定律
Heating element	加热元件
Supply	电源
Superconductivity	超导
Inductance	电感
Capacitance	电容
Transformation	变换
Reference axis	参考轴

声明¶

本文翻译自 electronics-tutorials

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