RMS 电压教程¶

正弦波的均方根（RMS）值，也称为有效值，其所产生的热效应相当于同等大小的直流电源。

在我们关于交流波形的教程中，我们简要地讨论了正弦波的均方根（RMS）电压值，并指出该 RMS 值所产生的热效应等同于等效直流电源的热效应。在本教程中，我们将通过更详细地考察 RMS 电压和电流，来进一步扩展这一理论。

“RMS”一词是“Root-Mean-Squared”（平方根的均值）的缩写。大多数书籍将其定义为“能够产生与等效直流电源相同热效应的交流功率量”，或类似的表述，但 RMS 值所蕴含的意义远不止于此。

RMS 值是瞬时值平方的平均值（算术均值）再开平方所得到的结果。用于表示 RMS 值的符号有 \(V_\mathrm{RMS}\) 或 \(I_\mathrm{RMS}\)。

术语 RMS 仅用于描述随时间变化的正弦电压、电流或复杂波形 —— 即波形幅值随时间变化的情况；它不用于幅值始终保持恒定的直流电路分析或计算中。当将交流正弦波的等效 RMS 电压值与等效直流电路提供给同一负载的电功率进行比较时，该 RMS 值又称为“有效值”（effective value），通常记为 \(V_\mathrm{eff}\) 或 \(I_\mathrm{eff}\)。

换言之，有效值是一个等效的直流数值，它告诉我们某一随时间变化的正弦波在产生同等功率方面，相当于多少伏特或多少安培的直流电。

例如，英国的家庭电网电压为 240 VAC。人们通常将其理解为“240 Volt RMS”的有效值。这意味着，英国家庭墙壁插座输出的正弦波 RMS 电压，能够产生与 240 V 恒定直流电压相同的平均正功率。

RMS 电压等效¶

RMS Voltage Equivalent

那么，我们如何计算正弦波的 RMS 电压呢。正弦波或复杂波形的 RMS 电压可以通过两种基本方法来确定。

图解法（Graphical Method） – 可通过在波形上绘制若干中截线来求取任何非正弦随时间变化波形的 RMS 值。 解析法（Analytical Method） – 是一种使用微积分来求取任何周期性电压或电流的有效值或 RMS 值的数学方法。

RMS 电压图解法¶

虽然对交流波形的两个半周期（正半周期和负半周期）的计算方法相同，但在本例中我们仅考虑正半周期。通过沿波形取等间距的瞬时值，可以以合理的精度求得该波形的有效值（RMS 值）。

将波形的正半周期分成任意数量的 “n” 条相等的中截线（mid-ordinates），在波形上绘制的中截线越多，最终结果就越精确。
因此，每条中截线的宽度将不会包含任何度数；
每条中截线的高度则等于该时刻波形在 x 轴上的瞬时电压值。

图解法

每个中截线值（在此例中为电压波形）都与自身相乘（平方），然后与下一个中截线值相加。此方法给出了 RMS 电压表达式中的“平方”（Squared）部分。

接着，将该平方值除以所用中截线的数量，以得到 RMS 电压表达式中的“平均”（Mean）部分；在上例中，所用中截线数为十二（12）。最后，对前述结果取平方根，以得到 RMS 电压的“根”（Root）部分。

由此，我们可以将用于描述 RMS 电压（\(V_{\mathrm{RMS}}\)）的术语定义为“电压波形中截线平方的平均值的平方根”，其表达式如下：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{\bigl(\text{sum of mid-ordinate (voltages)}\bigr)^2}{\text{number of mid-ordinates}}} \]

对于我们上面简单的示例，RMS 电压将按如下方式计算：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{ \frac{ V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \dots + V_{11}^2 + V_{12}^2 }{12} } \]

那么，假设一个交流电压的峰值电压（\(V_{\mathrm{pk}}\)）为 20 伏，通过取 10 个中截线值，发现其在一个半周期内的变化如下：


电压（V）	角度（°）
6.2	18
11.8	36
16.2	54
19.0	72
20.0	90
19.0	108
16.2	126
11.8	144
6.2	162
0.0	180

则RMS电压应当计算为:

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{ \frac{ 6.2^2 + 11.8^2 + 16.2^2 + 19^2 + 20^2 + 19^2 + 16.2^2 + 11.8^2 + 6.2^2 + 0^2 }{10} } \]

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{2000}{10}} = \sqrt{200} = 14.14\ \mathrm{Volts} \]

使用图解法得到RMS电压值为14.14伏特。

RMS 电压解析法¶

上述图解法非常适用于求取非对称或非正弦形交流波形的有效值（RMS 电压或电流）。换言之，该方法可用于复杂波形。

然而，对于纯正弦波形，我们可以采用解析法——即数学积分——来简化 RMS 值的求取。

周期性正弦电压可表示为 \(V_{(t)} = V_{\max}\cos(\omega t)\)，其周期为 \(T\)。

那么，正弦电压 \(V_{(t)}\) 的均方根（RMS）值可按以下公式计算：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{m}^{2}\cos^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t} \]

通过对积分上下限从 0 到 360°（或 \(T\)）进行积分，得出：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2T}\Bigl[t + \frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t)\Bigr]_{0}^{T}} \]

其中： \(V_m\) 是波形的峰值或最大值。进一步将 \(\omega = \tfrac{2\pi}{T}\) 代入，上述复杂方程最终简化为：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \frac{V_{pk}}{\sqrt{2}} = V_{pk} \times 0.7071 \]

详细推导过程可见附录:电压解析法积分推导过程

然后，正弦波的均方根电压（ \(V_{RMS}\)）是通过将峰值电压乘以 0.7071 来确定的，这与 1 除以二的平方根（ \(\frac{1}{\sqrt 2}\)）相同。

RMS 电压，也可称为有效值，取决于波形的幅值，并不依赖于波形的频率或相位角。

根据上述图解示例，波形的峰值电压（ \(V_{pk}\)）被给定为 20 伏。通过使用刚才定义的解析方法，我们可以将 RMS 电压计算为：

\[ V_{RMS} = V_{pk} * 0.7071 = 20 \times 0.7071 = 14.14V \]

注意，这 14.14 伏的数值与之前的图解法所得数值相同。因此，我们可以使用中截线的图解法，或使用解析计算方法来求取正弦波的 RMS电压或电流值。

注意，将峰值或最大值乘以常数 0.7071 仅适用于正弦波形。对于非正弦波形，必须使用图解法。

但是，除了使用正弦波的峰值或最大值外，我们还可以使用峰-峰值（\(V_{P-P}\)）或平均值（\(V_{AVG}\)）来求取正弦波的等效均方根值，如下所示：

正弦波 RMS 值

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\times V_{\mathrm{pk}} = 0.7071\times V_{\mathrm{pk}} \]

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\times V_{P\!-\!P} = 0.3536\times V_{P\!-\!P} \\ V_{\mathrm{RMS}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\times V_{\mathrm{avg}} = 1.11\times V_{\mathrm{avg}} \]

总结¶

RMS 电压总结然后总结一下。当处理交流电压（或电流）时，我们面临如何表示电压或信号幅值的问题。一种简单的方法是使用波形的峰值。另一种常用的方法是使用有效值，也称为均方根（Root Mean Square，RMS）值。

正弦波的均方根（RMS）值并不等同于所有瞬时值的平均值。电压的 RMS 值与电压最大值之比，等同于电流的 RMS 值与电流最大值之比。

大多数万用表（无论是电压表还是电流表）在测量 RMS 值时都假设波形为纯正弦波。若要测量非正弦波形的 RMS 值，则需要使用“真 RMS 万用表”（True RMS Multimeter）。

正弦波的 RMS 值所产生的发热效应，与相同数值的直流电流所产生的发热效应相同。也就是说，当直流电流 I 通过电阻 \(R\) 时，电阻消耗的直流功率为 \(P_{\mathrm{DC}} = I^2 R瓦特\)。

若交流电流 \(i = I_{\max}\sin\theta\)流过同一电阻，则转换为热能的交流功率为 \(P_{\mathrm{AC}} = I_{\mathrm{rms}}^2 R瓦特\)。

因此，在处理交流电压和电流时，应将其视作 RMS 值（除非另有说明）。例如，10 A 的交流电流具有与 10 A 直流电流相同的发热效应，其最大值为 14.14 A。

在确定了交流电压（或电流）波形的 RMS 值后，下一节教程将讨论如何计算交流电压的平均值 \(V_{\mathrm{AVG}}\)，并最终对两者进行比较。

附录¶

电压解析法积分推导过程¶

起始公式

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{m}^{2}\cos^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t} \]

应用恒等式 \(\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}\)

\[ \cos^{2}(\omega t) = \frac{1 + \cos\bigl(2\omega t\bigr)}{2} \]

带入原式：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{T} \int_{0}^{T}\frac{1+\cos(2\omega t)}{2}\,\mathrm{d}t} = \sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2T} \int_{0}^{T}\bigl(1+\cos(2\omega t)\bigr)\,\mathrm{d}t}. \]

拆分并计算积分

\[ \int_{0}^{T}\bigl(1+\cos(2\omega t)\bigr)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{T}1\,\mathrm{d}t + \int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,\mathrm{d}t. \]

- 第一项：

\[ \int_{0}^{T}1\,\mathrm{d}t = T. \]

- 第二项：

\[ \int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,\mathrm{d}t = \Bigl[\frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\Bigr]_{0}^{T} = \frac{\sin(2\omega T)-\sin(0)}{2\omega} = \frac{\sin(2\omega T)}{2\omega}. \]

  因为 \(\omega T = 2\pi\)，故 \(\sin(2\omega T)=\sin(4\pi)=0\)，

\[ \int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,\mathrm{d}t = 0. \]

故

\[ \int_{0}^{T}\bigl(1+\cos(2\omega t)\bigr)\,\mathrm{d}t = T + 0 = T. \]

代回并化简

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2T}\times T} = \sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2}} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}. \]

最终得到：

\[ V_{\mathrm{RMS}} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \]

单词表¶


英文单词/短语	中文翻译
RMS (Root-Mean-Squared)	均方根
Effective value	有效值
Sinusoidal waveform	正弦波形
Complex waveform	复杂波形
DC (Direct Current)	直流
AC (Alternating Current)	交流
Instantaneous value	瞬时值
Mid-ordinate	中截线
Graphical Method	图解法
Analytical Method	解析法
Period (T)	周期
Peak voltage (Vpk / Vmax)	峰值电压
Peak-to-Peak (Vp-p)	峰-峰值
Average value (Vavg)	平均值
True RMS Multimeter	真 RMS 万用表
Voltmeter	电压表
Ammeter	电流表
Ratio	比率
Heating effect	发热效应
Integral	积分
Cosine-squared identity	余弦平方恒等式
Frequency	频率
Phase angle	相位角
Angular frequency (ω)	角频率
Square	平方
Mean	均值
Root	平方根

声明¶

本文翻译自 electronics-tutorials

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